% ================================================================= \appendix % ================================================================= \section{Symboloversikt}\label{app:symboler} % ================================================================= {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{0.94} \begin{xltabular}{\linewidth}{@{}P{2.5cm} L L P{2.5cm}@{}} \caption{Modellens variabler, parametere og teoretiske forankring.} \label{tab:symboler}\\ \toprule Symbol & Begrep & Måleindikator / datakilde & Forankring \\ \midrule \endfirsthead \toprule Symbol & Begrep & Måleindikator / datakilde & Forankring \\ \midrule \endhead \midrule \multicolumn{4}{r@{}}{\itshape fortsetter på neste side}\\ \endfoot \bottomrule \endlastfoot $N_i$ & Aktivitetsnivå i kategori $i$ & Estimert fra register og offerundersøkelser & --- \\ $A_i,\ S_i,\ \theta$ & Alvorlighet, skadekostnad, aversjon & Strafferammer, kostnadsanslag & \citet{becker1968} \\ $\Kobj,\ \Kref$ & Vektet objektiv kriminalitet; referansenivå & Avledet fra~\eqref{eq:Kobj} & \citet{becker1968} \\ $U,\ \Lambda$ & Opplevd trygghet, tillit & Innbygger- og trygghetsundersøkelser & \citet{tyler1990} \\ $\Kt,\ \omega,\ \Phi$ & Effektivt kriminalitetspress & Avledet fra~\eqref{eq:Ktilde} & --- \\ $r_i,\ \varepsilon_i$ & Registreringsgrad, målefeil & Offerundersøkelser & \citet{ensign2018} \\ $\vE,\ \Omega_i,\ \beta_k,\ \ell_k$ & Makrovektor, strukturelt pådrag, koeffisienter, etterslep & SSB, NAV, Norges Bank & \citet{freeman1999} \\ $\tau$ & Systemisk tidsforsinkelse & Tidsstempler, budsjettkalender & \citet{forrester1961} \\ $T_i,\ T_0,\ T^{\max}$; $K^*,\ e$ & Innsats, grunninnsats, kapasitetstak; målnivå, styringsavvik & Ressursregnskap; politisk vedtak & --- \\ $k_p,\ k_i,\ k_d,\ W$ & Styringsparametere (PID) & Estimert fra historisk praksis & \citet{astrom2021} \\ $\gamma_i,\ \eta,\ \delta_i$ & Effektivitet, tillitselastisitet, avgang & Kvasieksperimenter & \citet{chalfin2017} \\ $\mathcal U_i^{C},\ B_i,\ F_i$ & Forventet nytte, gevinst, sanksjon & Estimert & \citet{becker1968} \\ $p_i,\ h_i$ & Oppdagelsesrisiko og -intensitet & Kvasieksperimenter; ikke oppklaringsprosent alene & \citet{nagin2013} \\ $\Pi_i,\ M_i,\ s_i$ & Deltakelse, potensial, heterogenitet & Estimert & \citet{becker1968} \\ $\sigma_{ij}$ & Forskyvning (andel av fortrengt aktivitet) & Kontrollområdestudier & \citet{guerette2009} \\ $\kappa_U,\psi,\kappa_\Lambda,\mu_k$ & Trygghets- og tillitsdynamikk & Gjentatte undersøkelser & \citet{sunshine2003} \\ $q,\ \Tprop$ & Prosessuell kvalitet; forholdsmessighet & Undersøkelser, tilsyn & \citet{tyler1990} \\ $c,\ a,\ b,\ \tau_c$ & Tillitsjustert effektivitet; dempning, reaktivitet, kritisk forsinkelse & Avledet, \cref{eq:ab,eq:tauc} & \citet{hayes1950} \\ $\cJ,\ \rho,\ C_{(\cdot)}$ & Samfunnstap, diskonteringsrate, kostnadsfunksjoner & Valgt, \cref{eq:J} & \citet{polinsky2000} \\ $\langle\cX,\cD,\cC\rangle$ & Skrankeproblem & Budsjett $\Bud$, $w_i$, $T_i^{\max}$, $\Lambda_{\mathrm{krit}}$, $K^*$, $U^*$ & \citet{rossi2006} \\ $H,\ g,\ V_f,\ \vx$ & MPC-horisont, trinnkostnad, sluttkostnad, tilstand & Valgt & \citet{rawlings2017} \\ $T_i^{\mathrm{lov}},\ T_i^{\mathrm{grl}},\ \tau_{\mathrm{lov}}$ & Lovbestemt og konstitusjonell grense; lovgivningsforsinkelse & Lov og forskrift; Grunnloven, EMK & \citet{ranchordas2014} \\ $J_k,\ Z_k,\ Q_k$ & Innstrømning, kapasitet og kø i ledd $k$ av straffesakskjeden & Saksbehandlingsstatistikk, restanser & \citet{goldratt1984} \\ $\upsilon_k,\ \upsilon_k^{\max},\ \tau_k^{\text{kø}},\ \xi_{\mathrm{D}}$ & Utnyttelse, tillatt utnyttelse, køtid; andel saker til retten & Avledet fra~\eqref{eq:ko}; påtalestatistikk & \citet{kleinrock1975} \\ $R_{\mathrm{D}},\ m_{\mathrm{D}},\ \varsigma_{\mathrm{D}}$ & Avgjorte saker; ren behandlingstid; frafall fra køen & Domstolstatistikk, \cref{eq:koD} & \citet{little1961} \\ $\vartheta,\ \chi_{\mathrm{D}},\ \mu_4$,\newline $\tau_{\mathrm{h}},\ \tau_{\mathrm{D}}^{\mathrm{ref}}$ & Andel av virkning som krever dom; celerity; tillitsvirkning; halvmetnings- og referansetid & Stiliserte, \cref{eq:ddeD,eq:kjedefb} & \citet{nagin2013} \\ $F,\ K_{\mathrm{sat}},\ Z_{\mathrm{E}},\ s$ & Fjerning med metning; politiets halvmetningsnivå og kapasitet; metningsfaktor & Henleggelser av kapasitetsgrunner; \cref{eq:Fsat,eq:absat} & \citet{holling1959} \\ $\pi_{\mathrm{A}},\ \vartheta_{\mathrm{A}},\ \vartheta_{\mathrm{B}}$,\newline $Q_k,\ R_k,\ \tau_k^{\text{kø}},\ c_{\mathrm{D}}$ & Alvorlige sakers andel; domsavhengig virkning per sakstype; kø, avgjørelser og ventetid per type; antall spor & Domstolstatistikk per sakstype, \cref{eq:prio} & \citet{kleinrock1975,kingman1961} \\ $\epsilon,\ K_{\mathrm{h}},\ \varrho,\ \mathcal H$ & Rekruttering: styrke, halvmetning, terskelbratthet, metningsfunksjon & Ikke estimert, \cref{eq:soc} & \citet{scheffer2009} \\ $\bm v,\ \Psi,\ \mathcal O$ & Tiltaksvektor, beslutningsregel, mengden av observasjoner & Avledet, \cref{eq:tiltak,eq:obs,eq:policy} & \citet{astrom2021} \\ $\tau_{\mathrm{D}}^{\mathrm{obs}},\ \xi_{\min},\ \tau_{\mathrm{D}}^{\mathrm{gr}}$,\newline $k_\xi,\ \tau_\xi$; $\Lambda^{*},\ k_q,\ q_{\max}$ & Påtalemyndighetens regel: observasjonsforsinkelse, gulv for andel til domstol, terskel for saksbehandlingstid, forsterkning, tidskonstant; kvalitetssløyfen: tillitsmål, forsterkning, øvre grense & Påtale- og domstolstatistikk, innbyggerundersøkelse; \cref{eq:regelxi}, \cref{sec:endogen} & \citet{goldratt1990} \\ $\upsilon^{*},\ k_Z,\ \tau_Z,\ \tau_{\mathrm{ned}}$,\newline $Z^{\mathrm{bev}},\ H_Q,\ H_{\mathrm{p}}$,\newline $\hat F^{\mathrm{p}}$ & Budsjettregel: målutnyttelse, forsterkning, ledetid, nedbyggingstid, bevilget kapasitet; horisont for restanseavvikling, prognosehorisont, prognostisert fjerningsstrøm & Budsjett, restansestatistikk, \cref{eq:regelZ,eq:regelkoord} & \citet{sterman1989,sterman2000} \\ \end{xltabular} } % ================================================================= % ================================================================= \section{Bevis for proposisjon~\ref{prop:stabilitet}}\label{app:bevis} % ================================================================= \paragraph{Linearisering} Med $T(t)=T_0+k_p(\Kobj(t-\tau)-K^*)$ innenfor metningsgrensene og konstante $\bar\Lambda$, $\bar\Omega$ gir~\eqref{eq:dde} $\dot K(t)=\bar\Omega-cT(t)K(t)-\delta K(t)$ med $c=\gamma\bar\Lambda^{\eta}$. Setter vi $K(t)=\bar K+x(t)$ og $T(t)=\bar T+k_p x(t-\tau)$, bruker likevektsbetingelsen $\bar\Omega=(c\bar T+\delta)\bar K$ og ser bort fra annenordensleddet $c\,k_p\,x(t)x(t-\tau)$, får vi $\dot x(t)=-(c\bar T+\delta)\,x(t)-c\bar K k_p\,x(t-\tau)=-a\,x(t)-b\,x(t-\tau)$, med $a>0$ og $b>0$. \paragraph{Karakteristisk ligning} Innsetting av $x=e^{\lambda t}$ gir $\chi(\lambda)\coloneqq\lambda+a+b\,e^{-\lambda\tau}=0$. For $\tau=0$ er eneste rot $\lambda=-(a+b)<0$. Røttene avhenger kontinuerlig av $\tau$, og bare endelig mange ligger i ethvert halvplan $\operatorname{Re}\lambda>-\epsilon$, så stabilitet kan bare tapes ved at en rot krysser den imaginære aksen \citep{hale1993}. $\lambda=0$ er ikke en rot, siden $a+b>0$. Sett derfor $\lambda=i\varpi$ med $\varpi>0$ (komplekskonjugerte røtter opptrer parvis). Real- og imaginærdelen gir \[ a+b\cos(\varpi\tau)=0,\qquad \varpi-b\sin(\varpi\tau)=0 . \] Kvadrering og addisjon gir $\varpi^2=b^2-a^2$. \paragraph{Del (a)} Hvis $b\le a$, finnes ingen $\varpi>0$ som oppfyller dette. Ingen rot kan da krysse den imaginære aksen, og likevekten er asymptotisk stabil for alle $\tau\ge 0$. \paragraph{Del (b)} Hvis $b>a$, er $\varpi=\sqrt{b^2-a^2}$, $\cos(\varpi\tau)=-a/b$ og $\sin(\varpi\tau)=\varpi/b>0$. Kryssinger skjer dermed ved $\tau_m=\big(\arccos(-a/b)+2\pi m\big)/\varpi$, $m=0,1,2,\dots$, og den minste er $\tau_c=\tau_0=\arccos(-a/b)/\varpi$. For kryssingsretningen deriverer vi $\chi(\lambda(\tau))=0$ implisitt og bruker $b e^{-\lambda\tau}=-(\lambda+a)$, som gir $(\dd\lambda/\dd\tau)^{-1}=-1/\big(\lambda(\lambda+a)\big)-\tau/\lambda$. For $\lambda=i\varpi$ er siste ledd rent imaginært, mens $\operatorname{Re}\big[-1/(i\varpi(i\varpi+a))\big]=\varpi^2/(\varpi^4+a^2\varpi^2)>0$. Siden et komplekst tall og dets inverse har realdel med samme fortegn, er $\operatorname{Re}(\dd\lambda/\dd\tau)>0$ ved hver kryssing $\tau_m$: røttene krysser alltid fra venstre mot høyre halvplan, og stabiliteten gjenvinnes ikke for større $\tau$. Likevekten er altså asymptotisk stabil hvis og bare hvis $\tau<\tau_c$, og ved $\tau=\tau_c$ har den kritiske roten frekvens $\varpi$ og periode $2\pi/\varpi$. \paragraph{Korollar~\ref{kor:tommel}} For $0\pi/(2b)$. Betingelsen $\tau<\pi/(2b)=\pi/(2c\bar K k_p)$ er derfor tilstrekkelig for stabilitet i del~(b), og i del~(a) er sløyfen stabil uansett. \hfill$\square$ \paragraph{Merknad~\ref{mrk:metning}: linearisering med metning} La $F(K,T)=c'T\varphi(K)$ med $\varphi(K)=K/(1+K/K_{\mathrm{sat}})$ og $c'=\gamma'\bar\Lambda^{\eta}$. Da er $\varphi'(K)=\varphi(K)\,s(K)/K$ med $s(K)=1/(1+K/K_{\mathrm{sat}})$. Linearisering av $\dot K=\bar\Omega-c'T\varphi(K)-\delta K$ rundt $(\bar K,\bar T)$ med $T=\bar T+k_p x(t-\tau)$ gir $\dot x=-\big(c'\bar T\varphi'(\bar K)+\delta\big)x(t)-c'\varphi(\bar K)k_p\,x(t-\tau)$. Med $\bar r\coloneqq c'\bar T\varphi(\bar K)/\bar K$ er $c'\bar T\varphi'(\bar K)=\bar r\,s(\bar K)$ og $c'\varphi(\bar K)k_p=\bar r\bar K k_p$, som er~\eqref{eq:absat}. Kalibreringen $\gamma'=\gamma(1+\Kref/K_{\mathrm{sat}})$ gir $\varphi(\Kref)\gamma'=\gamma\Kref$, så $\bar r=c\bar T$ i referanselikevekten uavhengig av $K_{\mathrm{sat}}$. For retningen på $\tau_c$: ved fast $b$ er $\partial\tau_c/\partial a =\big[\,1+a\arccos(-a/b)/\sqrt{b^2-a^2}\,\big]/(b^2-a^2)>0$ (siden $\dd\arccos(-a/b)/\dd a=1/\sqrt{b^2-a^2}$), så en lavere dempning gir en kortere kritisk forsinkelse. Grensen for stabilitet uansett forsinkelse, $b\le a$, blir $k_p\le(\bar r s(\bar K)+\delta)/(\bar r\bar K)$. \hfill$\square$ \paragraph{Merknad~\ref{mrk:kapasitet}: kapasitetssløyfen} La innstrømningen $J$ være gitt, og la budsjettet hvert år av lengde $\Delta$ korrigere andelen $k_Z$ av gapet mellom nødvendig kapasitet $J/\upsilon^{*}$ og realisert kapasitet, med realisering $\tau_Z$ etter vedtaket. Erstattes de årlige vedtakene med en kontinuerlig rate, er $\dot Z(t)=(k_Z/\Delta)\big(J/\upsilon^{*}-Z(t-\tau_Z)\big)$, så $z=Z-J/\upsilon^{*}$ følger $\dot z(t)=-b\,z(t-\tau_Z)$ med $b=k_Z/\Delta$: \cref{prop:stabilitet} med $a=0$, der $\tau_c=\arccos(0)/b=\pi/(2b)$, så sløyfen er stabil hvis og bare hvis $k_Z\tau_Z/\Delta<\pi/2$. Regnes bevilget, men ikke realisert kapasitet med, korrigeres gapet mot den bevilgede kapasiteten $C(t)$, som er realisert når det nye vedtaket virker; da er $\dot C(t)=(k_Z/\Delta)\big(J/\upsilon^{*}-C(t)\big)$ uten forsinkelse, $C$ går monotont mot behovet for alle $k_Z>0$, og $Z$ følger med ledetiden $\tau_Z$. Nedbygging med tidskonstant $\tau_{\mathrm{ned}}$ gir $a=1/\tau_{\mathrm{ned}}>0$ og øker $\tau_c$. \hfill$\square$ \paragraph{Bistabilitet i~\eqref{eq:soc}} Ved fast $T$ og $\Lambda$ er likevektene røttene i $f(K)=\Omega+\epsilon\mathcal H(K)-aK$ med $a=c\bar T+\delta$. Siden $f(0)=\Omega>0$ og $f(K)\to-\infty$, finnes minst én rot, og antallet er odde. $\mathcal H$ er for $\varrho>1$ konveks på $[0,K^{\dagger}]$ og konkav deretter, med $K^{\dagger}=K_{\mathrm{h}}\big((\varrho-1)/(\varrho+1)\big)^{1/\varrho}$ og største stigning $\mathcal H'(K^{\dagger})$. Er $\epsilon\mathcal H'(K)\le a$ for alle $K$, er $f$ strengt avtagende og roten entydig; tre røtter krever derfor $\epsilon\mathcal H'(K^{\dagger})>a$. De to ytre røttene er stabile ($f'<0$), den midterste (separatrisen) ustabil; røttene oppstår eller forsvinner parvis der $f=f'=0$ (tangering), som er sadelnode-bifurkasjonen i teksten. Rundt den lave likevekten er den lokale dempningen $-f'(\bar K)=a-\epsilon\mathcal H'(\bar K)$, som erstatter $a$ i \cref{prop:stabilitet} og går mot null nær tangeringen. Med proporsjonalregelen erstattes $aK$ av $\big(c\,\sat_{[0,T^{\max}]}[T_0+k_p(K-K^*)]+\delta\big)K$, som vokser raskere enn lineært inntil taket nås og lineært deretter; en høy likevekt finnes da bare når $T^{\max}$ er lite, eller, med metning~\eqref{eq:Fsat}, når $Z_{\mathrm{E}}(T^{\max})$ ikke overstiger $\Omega+\epsilon$ med tilstrekkelig margin. \hfill$\square$