% ================================================================= \appendix % ================================================================= \section{Symboloversikt}\label{app:symboler} % ================================================================= {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{0.94} \begin{xltabular}{\linewidth}{@{}P{2.5cm} L L P{2.5cm}@{}} \caption{Modellens variabler, parametere og teoretiske forankring.} \label{tab:symboler}\\ \toprule Symbol & Begrep & Måleindikator / datakilde & Forankring \\ \midrule \endfirsthead \toprule Symbol & Begrep & Måleindikator / datakilde & Forankring \\ \midrule \endhead \midrule \multicolumn{4}{r@{}}{\itshape fortsetter på neste side}\\ \endfoot \bottomrule \endlastfoot $N_i$ & Aktivitetsnivå i kategori $i$ & Estimert fra register og offerundersøkelser & --- \\ $A_i,\ S_i,\ \theta$ & Alvorlighet, skadekostnad, aversjon & Strafferammer, kostnadsanslag & \citet{becker1968} \\ $\Kobj,\ \Kref$ & Vektet objektiv kriminalitet; referansenivå & Avledet fra~\eqref{eq:Kobj} & \citet{becker1968} \\ $U,\ \Lambda$ & Opplevd trygghet, tillit & Innbygger- og trygghetsundersøkelser & \citet{tyler1990} \\ $\Kt,\ \omega,\ \Phi$ & Effektivt kriminalitetspress & Avledet fra~\eqref{eq:Ktilde} & --- \\ $r_i,\ \varepsilon_i$ & Registreringsgrad, målefeil & Offerundersøkelser & \citet{ensign2018} \\ $\vE,\ \Omega_i,\ \beta_k,\ \ell_k$ & Makrovektor, strukturelt pådrag, koeffisienter, etterslep & SSB, NAV, Norges Bank & \citet{freeman1999} \\ $\tau$ & Systemisk tidsforsinkelse & Tidsstempler, budsjettkalender & \citet{forrester1961} \\ $T_i,\ T_0,\ T^{\max}$; $K^*,\ e$ & Innsats, grunninnsats, kapasitetstak; målnivå, styringsavvik & Ressursregnskap; politisk vedtak & --- \\ $k_p,\ k_i,\ k_d,\ W$ & Styringsparametere (PID) & Estimert fra historisk praksis & \citet{astrom2021} \\ $\gamma_i,\ \eta,\ \delta_i$ & Effektivitet, tillitselastisitet, avgang & Kvasieksperimenter & \citet{chalfin2017} \\ $\mathcal U_i^{C},\ B_i,\ F_i$ & Forventet nytte, gevinst, sanksjon & Estimert & \citet{becker1968} \\ $p_i,\ h_i$ & Oppdagelsesrisiko og -intensitet & Kvasieksperimenter; ikke oppklaringsprosent alene & \citet{nagin2013} \\ $\Pi_i,\ M_i,\ s_i$ & Deltakelse, potensial, heterogenitet & Estimert & \citet{becker1968} \\ $\sigma_{ij}$ & Forskyvning (andel av fortrengt aktivitet) & Kontrollområdestudier & \citet{guerette2009} \\ $\kappa_U,\psi,\kappa_\Lambda,\mu_k$ & Trygghets- og tillitsdynamikk & Gjentatte undersøkelser & \citet{sunshine2003} \\ $q,\ \Tprop$ & Prosessuell kvalitet; forholdsmessighet & Undersøkelser, tilsyn & \citet{tyler1990} \\ $c,\ a,\ b,\ \tau_c$ & Tillitsjustert effektivitet; dempning, reaktivitet, kritisk forsinkelse & Avledet, \cref{eq:ab,eq:tauc} & \citet{hayes1950} \\ $\cJ,\ \rho,\ C_{(\cdot)}$ & Samfunnstap, diskonteringsrate, kostnadsfunksjoner & Valgt, \cref{eq:J} & \citet{polinsky2000} \\ $\langle\cX,\cD,\cC\rangle$ & Skrankeproblem & Budsjett $\Bud$, $w_i$, $T_i^{\max}$, $\Lambda_{\mathrm{krit}}$, $K^*$, $U^*$ & \citet{rossi2006} \\ $H,\ g,\ V_f,\ \vx$ & MPC-horisont, trinnkostnad, sluttkostnad, tilstand & Valgt & \citet{rawlings2017} \\ $T_i^{\mathrm{lov}},\ T_i^{\mathrm{grl}},\ \tau_{\mathrm{lov}}$ & Lovbestemt og konstitusjonell grense; lovgivningsforsinkelse & Lov og forskrift; Grunnloven, EMK & \citet{ranchordas2014} \\ $J_k,\ Z_k,\ Q_k$ & Innstrømning, kapasitet og kø i ledd $k$ av straffesakskjeden & Saksbehandlingsstatistikk, restanser & \citet{goldratt1984} \\ $\upsilon_k,\ \upsilon_k^{\max},\ \tau_k^{\text{kø}},\ \xi_{\mathrm{D}}$ & Utnyttelse, tillatt utnyttelse, køtid; andel saker til retten & Avledet fra~\eqref{eq:ko}; påtalestatistikk & \citet{kleinrock1975} \\ $R_{\mathrm{D}},\ m_{\mathrm{D}},\ \varsigma_{\mathrm{D}}$ & Avgjorte saker; ren behandlingstid; frafall fra køen & Domstolstatistikk, \cref{eq:koD} & \citet{little1961} \\ $\vartheta,\ \chi_{\mathrm{D}},\ \mu_4$,\newline $\tau_{\mathrm{h}},\ \tau_{\mathrm{D}}^{\mathrm{ref}}$ & Andel av virkning som krever dom; celerity; tillitsvirkning; halvmetnings- og referansetid & Stiliserte, \cref{eq:ddeD,eq:kjedefb} & \citet{nagin2013} \\ $F,\ K_{\mathrm{sat}},\ Z_{\mathrm{E}},\ s$ & Fjerning med metning; politiets halvmetningsnivå og kapasitet; metningsfaktor & Henleggelser av kapasitetsgrunner; \cref{eq:Fsat,eq:absat} & \citet{holling1959} \\ $\pi_{\mathrm{A}},\ \vartheta_{\mathrm{A}},\ \vartheta_{\mathrm{B}}$,\newline $Q_k,\ R_k,\ \tau_k^{\text{kø}},\ c_{\mathrm{D}}$ & Alvorlige sakers andel; domsavhengig virkning per sakstype; kø, avgjørelser og ventetid per type; antall spor & Domstolstatistikk per sakstype, \cref{eq:prio} & \citet{kleinrock1975,kingman1961} \\ $\epsilon,\ K_{\mathrm{h}},\ \varrho,\ \mathcal H$ & Rekruttering: styrke, halvmetning, terskelbratthet, metningsfunksjon & Ikke estimert, \cref{eq:soc} & \citet{scheffer2009} \\ $\bm v,\ \Psi,\ \mathcal O$ & Tiltaksvektor, beslutningsregel, mengden av observasjoner & Avledet, \cref{eq:tiltak,eq:obs,eq:policy} & \citet{astrom2021} \\ $\tau_{\mathrm{D}}^{\mathrm{obs}},\ \xi_{\min},\ \tau_{\mathrm{D}}^{\mathrm{gr}}$,\newline $k_\xi,\ \tau_\xi$; $\Lambda^{*},\ k_q,\ q_{\max}$ & Påtalemyndighetens regel: observasjonsforsinkelse, gulv for andel til domstol, terskel for saksbehandlingstid, forsterkning, tidskonstant; kvalitetssløyfen: tillitsmål, forsterkning, øvre grense & Påtale- og domstolstatistikk, innbyggerundersøkelse; \cref{eq:regelxi}, \cref{sec:endogen} & \citet{goldratt1990} \\ $\upsilon^{*},\ k_Z,\ \tau_Z,\ \tau_{\mathrm{ned}}$,\newline $Z^{\mathrm{bev}},\ H_Q,\ H_{\mathrm{p}}$,\newline $\hat F^{\mathrm{p}}$ & Budsjettregel: målutnyttelse, forsterkning, ledetid, nedbyggingstid, bevilget kapasitet; horisont for restanseavvikling, prognosehorisont, prognostisert fjerningsstrøm & Budsjett, restansestatistikk, \cref{eq:regelZ,eq:regelkoord} & \citet{sterman1989,sterman2000} \\ \end{xltabular} } % ================================================================= % ================================================================= \section{Bevis for proposisjon~\ref{prop:stabilitet}}\label{app:bevis} % ================================================================= \paragraph{Linearisering} Med $T(t)=T_0+k_p(\Kobj(t-\tau)-K^*)$ innenfor metningsgrensene og konstante $\bar\Lambda$, $\bar\Omega$ gir~\eqref{eq:dde} $\dot K(t)=\bar\Omega-cT(t)K(t)-\delta K(t)$ med $c=\gamma\bar\Lambda^{\eta}$. Setter vi $K(t)=\bar K+x(t)$ og $T(t)=\bar T+k_p x(t-\tau)$, bruker likevektsbetingelsen $\bar\Omega=(c\bar T+\delta)\bar K$ og ser bort fra annenordensleddet $c\,k_p\,x(t)x(t-\tau)$, får vi $\dot x(t)=-(c\bar T+\delta)\,x(t)-c\bar K k_p\,x(t-\tau)=-a\,x(t)-b\,x(t-\tau)$, med $a>0$ og $b>0$. \paragraph{Karakteristisk ligning} Innsetting av $x=e^{\lambda t}$ gir $\chi(\lambda)\coloneqq\lambda+a+b\,e^{-\lambda\tau}=0$. For $\tau=0$ er eneste rot $\lambda=-(a+b)<0$. Røttene avhenger kontinuerlig av $\tau$, og bare endelig mange ligger i ethvert halvplan $\operatorname{Re}\lambda>-\epsilon$, så stabilitet kan bare tapes ved at en rot krysser den imaginære aksen \citep{hale1993}. $\lambda=0$ er ikke en rot, siden $a+b>0$. Sett derfor $\lambda=i\varpi$ med $\varpi>0$ (komplekskonjugerte røtter opptrer parvis). Real- og imaginærdelen gir \[ a+b\cos(\varpi\tau)=0,\qquad \varpi-b\sin(\varpi\tau)=0 . \] Kvadrering og addisjon gir $\varpi^2=b^2-a^2$. \paragraph{Del (a)} Hvis $b\le a$, finnes ingen $\varpi>0$ som oppfyller dette. Ingen rot kan da krysse den imaginære aksen, og likevekten er asymptotisk stabil for alle $\tau\ge 0$. \paragraph{Del (b)} Hvis $b>a$, er $\varpi=\sqrt{b^2-a^2}$, $\cos(\varpi\tau)=-a/b$ og $\sin(\varpi\tau)=\varpi/b>0$. Kryssinger skjer dermed ved $\tau_m=\big(\arccos(-a/b)+2\pi m\big)/\varpi$, $m=0,1,2,\dots$, og den minste er $\tau_c=\tau_0=\arccos(-a/b)/\varpi$. For kryssingsretningen deriverer vi $\chi(\lambda(\tau))=0$ implisitt og bruker $b e^{-\lambda\tau}=-(\lambda+a)$, som gir $(\dd\lambda/\dd\tau)^{-1}=-1/\big(\lambda(\lambda+a)\big)-\tau/\lambda$. For $\lambda=i\varpi$ er siste ledd rent imaginært, mens $\operatorname{Re}\big[-1/(i\varpi(i\varpi+a))\big]=\varpi^2/(\varpi^4+a^2\varpi^2)>0$. Siden et komplekst tall og dets inverse har realdel med samme fortegn, er $\operatorname{Re}(\dd\lambda/\dd\tau)>0$ ved hver kryssing $\tau_m$: røttene krysser alltid fra venstre mot høyre halvplan, og stabiliteten gjenvinnes ikke for større $\tau$. Likevekten er altså asymptotisk stabil hvis og bare hvis $\tau<\tau_c$, og ved $\tau=\tau_c$ har den kritiske roten frekvens $\varpi$ og periode $2\pi/\varpi$. \paragraph{Korollar~\ref{kor:tommel}} For $0\pi/(2b)$. Betingelsen $\tau<\pi/(2b)=\pi/(2c\bar K k_p)$ er derfor tilstrekkelig for stabilitet i del~(b), og i del~(a) er sløyfen stabil uansett. \hfill$\square$ \paragraph{Merknad~\ref{mrk:metning}: linearisering med metning} La $F(K,T)=c'T\varphi(K)$ med $\varphi(K)=K/(1+K/K_{\mathrm{sat}})$ og $c'=\gamma'\bar\Lambda^{\eta}$. Da er $\varphi'(K)=\varphi(K)\,s(K)/K$ med $s(K)=1/(1+K/K_{\mathrm{sat}})$. Linearisering av $\dot K=\bar\Omega-c'T\varphi(K)-\delta K$ rundt $(\bar K,\bar T)$ med $T=\bar T+k_p x(t-\tau)$ gir $\dot x=-\big(c'\bar T\varphi'(\bar K)+\delta\big)x(t)-c'\varphi(\bar K)k_p\,x(t-\tau)$. Med $\bar r\coloneqq c'\bar T\varphi(\bar K)/\bar K$ er $c'\bar T\varphi'(\bar K)=\bar r\,s(\bar K)$ og $c'\varphi(\bar K)k_p=\bar r\bar K k_p/\bar T$, som er~\eqref{eq:absat}. Kalibreringen $\gamma'=\gamma(1+\Kref/K_{\mathrm{sat}})$ gir $\varphi(\Kref)\gamma'=\gamma\Kref$, så $\bar r=c\bar T$ i referanselikevekten uavhengig av $K_{\mathrm{sat}}$. For retningen på $\tau_c$: ved fast $b$ er $\partial\tau_c/\partial a =\big[\,1+a\arccos(-a/b)/\sqrt{b^2-a^2}\,\big]/(b^2-a^2)>0$ (siden $\dd\arccos(-a/b)/\dd a=1/\sqrt{b^2-a^2}$), så en lavere dempning gir en kortere kritisk forsinkelse. Grensen for stabilitet uansett forsinkelse, $b\le a$, blir $k_p\le\bar T\big(\bar r s(\bar K)+\delta\big)/(\bar r\bar K)$. \hfill$\square$ \paragraph{Merknad~\ref{mrk:kapasitet}: kapasitetssløyfen} La innstrømningen $J$ være gitt, og la budsjettet hvert år av lengde $\Delta$ korrigere andelen $k_Z$ av gapet mellom nødvendig kapasitet $J/\upsilon^{*}$ og realisert kapasitet, med realisering $\tau_Z$ etter vedtaket. Erstattes de årlige vedtakene med en kontinuerlig rate, er $\dot Z(t)=(k_Z/\Delta)\big(J/\upsilon^{*}-Z(t-\tau_Z)\big)$, så $z=Z-J/\upsilon^{*}$ følger $\dot z(t)=-b\,z(t-\tau_Z)$ med $b=k_Z/\Delta$: \cref{prop:stabilitet} med $a=0$, der $\tau_c=\arccos(0)/b=\pi/(2b)$, så sløyfen er stabil hvis og bare hvis $k_Z\tau_Z/\Delta<\pi/2$. Regnes bevilget, men ikke realisert kapasitet med, korrigeres gapet mot den bevilgede kapasiteten $C(t)$, som er realisert når det nye vedtaket virker; da er $\dot C(t)=(k_Z/\Delta)\big(J/\upsilon^{*}-C(t)\big)$ uten forsinkelse, $C$ går monotont mot behovet for alle $k_Z>0$, og $Z$ følger med ledetiden $\tau_Z$. Nedbygging med tidskonstant $\tau_{\mathrm{ned}}$ gir $a=1/\tau_{\mathrm{ned}}>0$ og øker $\tau_c$. \hfill$\square$ \paragraph{Bistabilitet i~\eqref{eq:soc}} Ved fast $T$ og $\Lambda$ er likevektene røttene i $f(K)=\Omega+\epsilon\mathcal H(K)-aK$ med $a=c\bar T+\delta$. Siden $f(0)=\Omega>0$ og $f(K)\to-\infty$, finnes minst én rot, og antallet er odde. $\mathcal H$ er for $\varrho>1$ konveks på $[0,K^{\dagger}]$ og konkav deretter, med $K^{\dagger}=K_{\mathrm{h}}\big((\varrho-1)/(\varrho+1)\big)^{1/\varrho}$ og største stigning $\mathcal H'(K^{\dagger})$. Er $\epsilon\mathcal H'(K)\le a$ for alle $K$, er $f$ strengt avtagende og roten entydig; tre røtter krever derfor $\epsilon\mathcal H'(K^{\dagger})>a$. De to ytre røttene er stabile ($f'<0$), den midterste (separatrisen) ustabil; røttene oppstår eller forsvinner parvis der $f=f'=0$ (tangering), som er sadelnode-bifurkasjonen i teksten. Rundt den lave likevekten er den lokale dempningen $-f'(\bar K)=a-\epsilon\mathcal H'(\bar K)$, som erstatter $a$ i \cref{prop:stabilitet} og går mot null nær tangeringen. Med proporsjonalregelen erstattes $aK$ av $\big(c\,\sat_{[0,T^{\max}]}[T_0+k_p(K-K^*)]+\delta\big)K$, som vokser raskere enn lineært inntil taket nås og lineært deretter; en høy likevekt finnes da bare når $T^{\max}$ er lite, eller, med metning~\eqref{eq:Fsat}, når $Z_{\mathrm{E}}(T^{\max})$ ikke overstiger $\Omega+\epsilon$ med tilstrekkelig margin. \hfill$\square$ % ================================================================= \section{Fra ligning til kode}\label{app:kode} % ================================================================= Dette vedlegget viser hvilke ligninger som ligger bak simuleringene i \cref{sec:numerikk}, og hvilke som bare er stilt opp. For hver nummererte ligning oppgir \cref{tab:kode} funksjonen i simuleringskoden \texttt{paper/sim.py} som regner den, med linjenummer (l.), hvilken figur eller tabell den bidrar til, og status: \begin{itemize}[leftmargin=*,itemsep=1pt] \item \emph{implementert}: koden regner ligningen slik den står, i den aggregerte formen ($n=1$, nivåene normalisert slik at $\Kobj=1$ i referanselikevekten); \item \emph{forenklet}: koden regner et spesialtilfelle eller en enklere form, og merknaden sier hva som er utelatt; \item \emph{ikke implementert}: ligningen hører til rammeverket, men ingen simulering bruker den. \end{itemize} Av de 39 nummererte ligningene er 18 implementert, 12 forenklet og 9 ikke implementert. Det som ikke er implementert, er forskyvningen mellom kategorier og den strategiske tilpasningen (\cref{sec:spill}), måleligningen, de makroøkonomiske driverne, målfunksjonen og lovgivers handlingsrom. Simuleringene regner altså på den aggregerte kjernen av modellen --- kriminalitetsdynamikken med forsinket respons, trygghet og tillit, domstolskøen og beslutningsreglene --- og ikke på hele rammeverket. \Cref{sec:diskusjon} drøfter hva det betyr. \Cref{tab:kodefunn} viser hvor hver figur og tabell kommer fra. Alle simuleringene integreres med eksplisitt Euler-metode med tidssteg $\Delta t=0{,}05$~måned over 120~måneder (180 i \cref{sec:endogen}), og forsinkelsen $\tau$ er et helt antall tidssteg. Etter hvert steg holdes tilliten innenfor $[10^{-4},\,1-10^{-4}]$ og køene ikke-negative; tillitsgrensen binder ikke i noen kjøring (laveste tillit er $0{,}33$, i regime~C med politimetning, $K_{\mathrm{sat}}=1{,}5$). En kjøring tar om lag to minutter, skriver figurdataene i \texttt{paper/data/}, som figurene leser direkte, og skriver ut tallene som tabellene og teksten oppgir. Med Python~3.14.0, numpy~2.5.4 og scipy~1.18.1 gir en ny kjøring byte-identiske datafiler. Linjenumrene gjelder \texttt{sim.py} i samme versjon som denne teksten. \newcommand{\stImp}{\textbf{Implementert.}} \newcommand{\stFor}{\textbf{Forenklet.}} \newcommand{\stIkke}{\textbf{Ikke implementert.}} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{0.96} \begin{xltabular}{\linewidth}{@{}P{1.25cm} P{3.4cm} P{2.3cm} L@{}} \caption{Ligningene i artikkelen, koden som regner dem, og hva de gir.} \label{tab:kode}\\ \toprule Ligning & Kode (\texttt{sim.py}) & Gir & Status og merknad \\ \midrule \endfirsthead \toprule Ligning & Kode (\texttt{sim.py}) & Gir & Status og merknad \\ \midrule \endhead \midrule \multicolumn{4}{r@{}}{\itshape fortsetter på neste side}\\ \endfoot \bottomrule \endlastfoot \eqref{eq:naiv} & \texttt{simulate}, l.~66--86; regelen l.~73--75 & \cref{fig:sim} & \stFor{} $f$ er proporsjonalregelen i~\eqref{eq:pid}, og $\mathcal O$ er $\Kobj$ forsinket med $\tau$. \\ \eqref{eq:Kobj} & \texttt{simulate\_chain2}, l.~369--428 ($\Kobj=K_{\mathrm{A}}+K_{\mathrm{B}}$, l.~395) & \cref{fig:robust} (høyre); \cref{tab:prio} & \stFor{} To kategorier, alvorlige (A) og øvrige (B), der hver $K_k$ allerede er alvorlighetsvektet; antall, alvorlighet og skadekostnad inngår ikke hver for seg. Alle andre simuleringer har én aggregert, normalisert belastning ($n=1$). \\ \eqref{eq:Ktilde} & --- & --- & \stIkke{} Styringsreglene svarer på $\Kobj$, ikke på $\Kt$. \\ \eqref{eq:maling} & --- & --- & \stIkke{} Alle simuleringer antar et feilfritt estimat; forsinkelsen er eneste måleimperfeksjon. \\ \eqref{eq:E} & --- & --- & \stIkke{} \\ \eqref{eq:Omega} & \texttt{Omega}, l.~45--46; \texttt{simulate\_soc}, l.~466 & alle simuleringer & \stFor{} Pådraget er eksogent: $\Omega_0=0{,}12$, varig økt med 30~prosent fra måned~12 (forbigående økt med 60~prosent i månedene 12--36 i \cref{fig:vippe}). Koeffisientene $\beta_k$ og etterslepene $\ell_k$ inngår ikke. \\ \eqref{eq:tiltak} & \texttt{simulate\_endo}, l.~564--653 & \cref{fig:endogen,tab:endogen} & \stFor{} Tiltaksvektoren er $(T,\xi_{\mathrm{D}},Z_{\mathrm{D}},q)$, med én kategori og bare domstolsleddet; $T_i^{\mathrm{lov}}$ inngår ikke. \\ \eqref{eq:obs} & \texttt{simulate\_endo}, l.~582--588 og 609--611 & \cref{fig:endogen,tab:endogen} & \stFor{} Observasjonene er $\Kobj$ forsinket med $\tau$; saksbehandlingstid, innstrømning, kø og fjerningsstrøm i domstolen forsinket med 3~måneder; og tilliten fra en årlig måling publisert etter 3~måneder. Registrerte lovbrudd, trygghetsmålinger og makroindikatorer inngår ikke. \\ \eqref{eq:policy} & \texttt{simulate\_endo}, l.~590--641 & \cref{fig:endogen,tab:endogen} & \stFor{} $\Psi$ er de desentraliserte reglene og den koordinerte regelen i \cref{sec:endogen}. Tilstandsestimatet $\hat\vx$ er den sanne tilstanden forsinket, uten estimering. \\ \eqref{eq:tau} & \texttt{simulate}, l.~70, og tilsvarende i de andre simuleringsfunksjonene & \cref{fig:sim,fig:stab} & \stFor{} $\tau$ er én parameter (3, 6 eller 11~måneder). Oppdelingen i informasjons-, beslutnings- og iverksettingstid brukes bare i teksten (\cref{sec:regimer,sec:regneeks}). \\ \eqref{eq:pid} & \texttt{simulate}, l.~75; \texttt{simulate\_chain}, l.~218; \texttt{simulate\_chain2}, l.~397; \texttt{simulate\_soc}, l.~463; \texttt{predict\_F}, l.~557; \texttt{simulate\_endo}, l.~583 & \cref{fig:sim,fig:kjedesim,fig:robust,fig:vippe,fig:endogen} & \stFor{} Bare det reaktive leddet og metningen er implementert ($k_i=k_d=0$, $T^{\max}=3$). Det integrerende leddet, som ville fjernet det varige avviket i regime~A, er ikke simulert. \\ \eqref{eq:dde} & \texttt{deriv}, l.~57--58, med \texttt{removal}, l.~49--54; Euler-steget l.~82 & \cref{fig:sim} & \stImp{} Med $K_{\mathrm{sat}}=\infty$ gir \texttt{removal} eksakt $\gamma\Lambda^{\eta}T\Kobj$. \\ \eqref{eq:Fsat} & \texttt{removal}, l.~49--54 & \cref{fig:robust} (venstre), \cref{tab:satrobust} & \stImp{} Med $\gamma'=\gamma(1+\Kref/K_{\mathrm{sat}})$ og $\Kref=1$. $Z_{\mathrm{E}}$ regnes ikke ut særskilt. \\ \eqref{eq:ab} & l.~686--688 (referanselikevekten); l.~827--831 (sluttilstanden i scenario~2) & \cref{tab:param,fig:stab} & \stImp{} Gir $a=0{,}12$ og $b=0{,}30$. \\ \eqref{eq:tauc} & \texttt{critical\_delay}, l.~128--132; største stabile $k_p$, l.~694--695 & \cref{fig:stab,tab:param}; \cref{sec:regimer,sec:regneeks} & \stImp{} Gir $\tau_c=\infty$ når $b\le a$, $\tau_c=7{,}2$~måneder i referanselikevekten og $k_p\approx 2{,}3$ ved $\tau=11$. Grensen på om lag 7,1~måneder i likevekten etter sjokket (\cref{sec:regimer}) skrives ikke ut; den følger av~\eqref{eq:tauc} med sluttverdiene for regime~A. \\ \eqref{eq:tommel} & l.~696; l.~724--726 & \cref{fig:stab}; \cref{sec:regneeks} & \stImp{} Med $\bar K=1$; gir $k_p<1{,}4$ ved $\tau=11$. \\ \eqref{eq:absat} & l.~839--848 (referanselikevekten); l.~874--876 (sluttlikevekten) & \cref{tab:satrobust} & \stImp{} \\ \eqref{eq:nytte} & --- & --- & \stIkke{} \\ \eqref{eq:p} & --- & --- & \stIkke{} Den aggregerte fjerningsraten $\gamma\Lambda^{\eta}T$ svarer til intensiteten $h$ (fjerning per enhet i \texttt{simulate\_chain2}, l.~399), men oppdagelsesrisikoen regnes ikke. \\ \eqref{eq:deltakelse} & --- & --- & \stIkke{} Deltakelsen er ikke modellert; pådraget er eksogent. \\ \eqref{eq:forskyvning} & --- & --- & \stIkke{} Forskyvningen $\Sigma$ inngår ikke i noen simulering. Med $n=1$ og $\Sigma=0$ reduseres ligningen til~\eqref{eq:dde}, og \texttt{simulate\_chain2} regner to kategorier typevis etter~\eqref{eq:ddeD}. \\ \eqref{eq:U} & \texttt{deriv}, l.~59--60, og tilsvarende i de andre simuleringsfunksjonene & alle simuleringer & \stImp{} Med $\Kref=1$ og projeksjon til $[0,1]$. \\ \eqref{eq:lambda} & \texttt{deriv}, l.~61--62; leddet $\mu_3q$ i \texttt{deriv\_chain\_xz}, l.~543--544 & \cref{fig:sim,fig:kjedesim,fig:endogen} og tabellene i \cref{sec:numerikk} & \stImp{} Med $\Tprop(K)=1{,}6\,K$. Leddet $\mu_3(q-q_0)$ inngår bare i kvalitetssløyfen ($q_0=0$, $\mu_3=0{,}5$); ellers er $\mu_3=0$. \\ \eqref{eq:J} & --- & --- & \stIkke{} MPC-regimet minimerer i stedet et udiskontert kvadratisk tap over 24~måneder (l.~119--120): $(\Kobj-K^*)^2+\lambda_T(T-T_0)^2+\lambda_\Lambda\max(0,\,0{,}75-\Lambda)^2$, uten ledd for trygghet, budsjett eller kvalitet. \\ \eqref{eq:skranker} & metningen i proporsjonalregelen; MPC, l.~120 og 123 & \cref{fig:sim} & \stFor{} Bare $0\le T\le T^{\max}$ (hard) og $\Lambda\ge 0{,}75$ (myk, som straffeledd i MPC) er med. Budsjettskranken, $K^*$ og $U^*$ inngår ikke som skranker; $K^*$ er målet i proporsjonalregelen. \\ \eqref{eq:mpc} & \texttt{mpc\_step}, l.~89--125; \texttt{mpc\_step\_chain}, l.~240--265 & \cref{fig:sim} (regime~D); MPC-radene i \cref{sec:simkjede} & \stFor{} Ett konstant innsatsnivå over horisonten $H=24$ i stedet for en tiltaksfølge, ingen sluttkostnad $V_f$, og pådraget holdes på siste observerte verdi. Tilstanden predikeres fra den forsinkede observasjonen med kjente tidligere tiltak, og beslutningen tas på nytt hver måned. \\ \eqref{eq:Tlov} & --- & --- & \stIkke{} Lovgivers sløyfe er ikke simulert; taket $T^{\max}$ er fast. \\ \eqref{eq:ko} & \texttt{court}, l.~167--178; utnyttelsen skrives ut l.~732--738 og 783--786 & \cref{sec:regneeks2} & \stFor{} Bare domstolsleddet, i den glattede formen~\eqref{eq:koD}. Etterforskning, påtale og straffegjennomføring er ikke simulert. Regneeksempelet i \cref{sec:regneeks2} bruker~\eqref{eq:ko} direkte på tallene koden skriver ut. \\ \eqref{eq:JD} & \texttt{deriv\_chain}, l.~182--184; \texttt{deriv\_chain\_xz}, l.~535--536; \texttt{simulate\_chain2}, l.~407--408 & \cref{fig:kjedesim,fig:endogen} & \stImp{} Som $J_{\mathrm{D}}=\xi_{\mathrm{D}}F$; med politimetning er $F$ fjerningsleddet i~\eqref{eq:Fsat}. \\ \eqref{eq:koD} & \texttt{court}, l.~167--178; stasjonær startkø i \texttt{init\_chain}, l.~195--203; $m_{\mathrm{D}}$ kalibrert l.~154--155 & \cref{fig:kjedesim,tab:param} & \stImp{} Gir $m_{\mathrm{D}}=0{,}233$~måneder og $\tau_{\mathrm{D}}^{\mathrm{ref}}=3$~måneder. \\ \eqref{eq:ddeD} & \texttt{deriv\_chain}, l.~187 & \cref{fig:kjedesim,tab:kjedefolsom} & \stImp{} Med $Z_{\mathrm{D}}=\infty$ gjenskaper koden regime~A--D med avvik under $10^{-13}$ (l.~740--754). \\ \eqref{eq:kjedefb} & \texttt{court}, l.~176--177 ($g$); \texttt{deriv\_chain}, l.~186 ($\Omega^{\mathrm{eff}}$) og l.~191 ($\Lambda_0-\mu_4g$) & \cref{fig:kjedesim,tab:kjedefolsom} & \stImp{} \\ \eqref{eq:abD} & l.~826--834 & \cref{sec:simkjede} & \stImp{} I sluttilstanden for scenario~2 ($\xi_{\mathrm{D}}=1$, $\vartheta=0{,}5$). \\ \eqref{eq:skranker2} & trommel--buffer--tau: \texttt{simulate\_chain}, l.~226--230; \texttt{simulate\_chain2}, l.~400--406 & \cref{sec:simkjede}; \cref{tab:prio} & \stFor{} Bare kapasitetsskranken for domstolen, $J_{\mathrm{D}}\le 0{,}95\,Z_{\mathrm{D}}$, håndhevet ved å begrense $T$. \texttt{simulate\_chain} bruker den forsinkede observasjonen av $\Kobj$ (l.~229), så skranken holdes bare omtrent ($J_{\mathrm{D}}/Z_{\mathrm{D}}$ når $1{,}04$ i måned~15); \texttt{simulate\_chain2} bruker faktisk belastning og holder den eksakt. Lovgrensen inngår ikke. \\ \eqref{eq:prio} & \texttt{court2}, l.~329--344, med \texttt{capfun}, l.~320--326; \texttt{simulate\_chain2}, l.~369--428 & \cref{fig:robust} (høyre), \cref{tab:prio} & \stImp{} Koden har i tillegg felles kø (FIFO) og $c_{\mathrm{D}}=10$ parallelle spor etter Erlang~C (l.~295--317); $c_{\mathrm{D}}=1$ gir ligningen eksakt. \\ \eqref{eq:soc} & \texttt{hill}, l.~442--443; \texttt{simulate\_soc}, l.~451--476; \texttt{soc\_equilibria}, l.~479--491 & \cref{fig:vippe}; likevektene i \cref{sec:vippe} & \stImp{} $\Omega_0$ rekalibreres slik at $\Kobj=1$ fortsatt er likevekt (l.~455). \\ \eqref{eq:regelxi} & \texttt{simulate\_endo}, l.~598--604 og 640 & \cref{fig:endogen,tab:endogen} & \stImp{} Koden begrenser det første leddet til $3k_\xi$ per måned (l.~600), det vil si når $\hat\tau_{\mathrm{D}}^{\text{kø}}>24$~måneder. Grensen binder ikke: den lengste saksbehandlingstiden med desentraliserte regler er 14,8~måneder. \\ \eqref{eq:regelZ} & \texttt{simulate\_endo}, l.~614--621 og 628--639 & \cref{fig:endogen,tab:endogen} & \stImp{} $\bar J_{\mathrm{D}}$ er gjennomsnittet av observert innstrømning de siste 12~månedene, og bestilt kapasitet realiseres lineært 6--24~måneder etter vedtaket (l.~630 og 636). Koden bygger bare ned når ingen bestilt kapasitet er under realisering (l.~632). Nedbyggingsmålet settes i vedtaksåret og står til ny kapasitet bestilles (l.~630, 633 og 637--638), også i år der $\bar J_{\mathrm{D}}\ge 0{,}85\,Z_{\mathrm{D}}$. Prøves vilkåret på nytt hvert år, stanser den desentraliserte nedbyggingen i måned~84 på $1{,}33$ (observert utnyttelse $0{,}853$), og den andre bølgen ($1{,}18$ og $1{,}49$) uteblir. \\ \eqref{eq:regelkoord} & \texttt{simulate\_endo}, l.~605--608 (påtale) og 622--634 (budsjett); \texttt{predict\_F}, l.~548--561 & \cref{fig:endogen,tab:endogen} & \stImp{} Domstolen regnes som bindende fra første gang observert fjerningsstrøm overstiger kapasiteten ($\hat F>Z_{\mathrm{D}}$, som er $\hat\upsilon_{\mathrm{D}}>1$ så lenge $\xi_{\mathrm{D}}=1$), og forblir det (l.~606). Budsjettet bestiller bare når behovet overstiger bevilget kapasitet, slik \cref{tab:param} angir; ligningen viser bare $(\cdot)_+$. \\ Sløyfen for $q$ (\cref{sec:endogen}) & \texttt{simulate\_endo}, l.~609--612 og 641 & \cref{tab:endogen} & \stImp{} Koden justerer $q$ også ned når siste måling ligger over $\Lambda^{*}$, og $q$ følger målet med tidskonstant 12~måneder; teksten nevner bare økningen. \\ \end{xltabular} } {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{0.96} \begin{xltabular}{\linewidth}{@{}P{2.4cm} P{4.2cm} L@{}} \caption{Figurer, tabeller og resultater: koden som lager dem.} \label{tab:kodefunn}\\ \toprule Resultat & Kode (\texttt{sim.py}) & Data eller utskrift \\ \midrule \endfirsthead \toprule Resultat & Kode (\texttt{sim.py}) & Data eller utskrift \\ \midrule \endhead \midrule \multicolumn{3}{r@{}}{\itshape fortsetter på neste side}\\ \endfoot \bottomrule \endlastfoot \Cref{prop:stabilitet}, \cref{kor:tommel} & \texttt{critical\_delay}, l.~128--132; l.~686--696 & Analytisk (\cref{app:bevis}). Koden bruker formlene, men prøver ikke beviset; simuleringene stemmer med det: regime~A og~B ligger under grensen og demper ut, regime~C ligger over og ender i en grensesyklus. \\ \Cref{fig:sim} & \texttt{simulate}; l.~698--714 & \texttt{p3}, \texttt{p6}, \texttt{p11}, \texttt{mpc11}, \texttt{p11d} (\texttt{.dat}). Tallene i \cref{sec:regimer} fra utskriften; perioden i regime~C fra toppene som skrives ut i l.~817--825. \\ \Cref{fig:stab} & \texttt{critical\_delay}; l.~716--726 & \texttt{stab.dat}, \texttt{thumb.dat} \\ \Cref{tab:param}, \cref{sec:regneeks} & l.~149--155 og 686--696 & Utskrift: $a$, $b$, $\tau_c$, periode, grensene for $k_p$, $Z_{\mathrm{D}}$, $m_{\mathrm{D}}$ \\ \Cref{sec:regneeks2} & l.~783--786 & Utskrift: $J_{\mathrm{D}}=0{,}134$, $\upsilon_{\mathrm{D}}=1{,}28$ og $1{,}02$, kapasitetsbehov $+34$ og $+7$~prosent \\ \Cref{fig:kjedesim} & \texttt{simulate\_chain}; l.~756--786 & \texttt{kjede\_s1}--\texttt{kjede\_s5} (\texttt{.dat}) \\ Trommel--buffer--tau og MPC med kjede (\cref{sec:simkjede}) & l.~788--794 & Utskrift \\ \Cref{tab:kjedefolsom} & l.~796--804 & Utskrift \\ Stabilitet med kø (\cref{sec:simkjede}) & l.~816--834 & Utskrift \\ \Cref{tab:satrobust} & l.~839--848, 863--883 og 896--904 & Utskrift \\ \Cref{fig:robust} & \texttt{simulate}, \texttt{simulate\_chain2}; l.~884--888 og 948--952 & \texttt{sat\_C.dat}; \texttt{prio\_s2.dat}, \texttt{prio\_s3.dat}. \texttt{sat\_B.dat} og \texttt{prio\_s5.dat} skrives, men brukes ikke i figuren. \\ \Cref{tab:prio} & \texttt{simulate\_chain2}; l.~906--963 & Utskrift \\ \Cref{fig:vippe}, likevektene i \cref{sec:vippe} & \texttt{simulate\_soc}, \texttt{soc\_equilibria}; l.~973--1006 & \texttt{vippe.dat}; utskrift \\ \Cref{fig:endogen} & \texttt{simulate\_endo}; l.~1022--1045 & \texttt{endo\_e5}, \texttt{endo\_des}, \texttt{endo\_desp}, \texttt{endo\_ko} (\texttt{.dat}) \\ \Cref{tab:endogen} & \texttt{summary\_endo}, l.~656--664; l.~1022--1068 & Utskrift \\ \Cref{sec:eksempel}, \cref{tab:eksempel} & \texttt{simulate\_endo}; l.~1022--1068; scenario~6, l.~790 & Utskrift (samme kjøringer som \cref{tab:endogen}) \\ \Cref{mrk:kapasitet} & \texttt{pure\_capacity\_loop}, l.~667--679; l.~1069--1077 & Utskrift \\ \end{xltabular} }