den-dynamiske-rettsstaten/paper/part4.tex

% =================================================================
\appendix
% =================================================================
\section{Symboloversikt}\label{app:symboler}
% =================================================================

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{0.94}
\begin{xltabular}{\linewidth}{@{}P{2.5cm} L L P{2.5cm}@{}}
\caption{Modellens variabler, parametere og teoretiske forankring.}
\label{tab:symboler}\\
\toprule
Symbol & Begrep & Måleindikator / datakilde & Forankring \\
\midrule
\endfirsthead
\toprule
Symbol & Begrep & Måleindikator / datakilde & Forankring \\
\midrule
\endhead
\midrule
\multicolumn{4}{r@{}}{\itshape fortsetter på neste side}\\
\endfoot
\bottomrule
\endlastfoot
$N_i$ & Aktivitetsnivå i kategori $i$ & Estimert fra register og offerundersøkelser & --- \\
$A_i,\ S_i,\ \theta$ & Alvorlighet, skadekostnad, aversjon & Strafferammer, kostnadsanslag & \citet{becker1968} \\
$\Kobj,\ \Kref$ & Vektet objektiv kriminalitet; referansenivå & Avledet fra~\eqref{eq:Kobj} & \citet{becker1968} \\
$U,\ \Lambda$ & Opplevd trygghet, tillit & Innbygger- og trygghetsundersøkelser & \citet{tyler1990} \\
$\Kt,\ \omega,\ \Phi$ & Effektivt kriminalitetspress & Avledet fra~\eqref{eq:Ktilde} & --- \\
$r_i,\ \varepsilon_i$ & Registreringsgrad, målefeil & Offerundersøkelser & \citet{ensign2018} \\
$\vE,\ \Omega_i,\ \beta_k,\ \ell_k$ & Makrovektor, strukturelt pådrag, koeffisienter, etterslep & SSB, NAV, Norges Bank & \citet{freeman1999} \\
$\tau$ & Systemisk tidsforsinkelse & Tidsstempler, budsjettkalender & \citet{forrester1961} \\
$T_i,\ T_0,\ T^{\max}$; $K^*,\ e$ & Innsats, grunninnsats, kapasitetstak; målnivå, styringsavvik & Ressursregnskap; politisk vedtak & --- \\
$k_p,\ k_i,\ k_d,\ W$ & Styringsparametere (PID) & Estimert fra historisk praksis & \citet{astrom2021} \\
$\gamma_i,\ \eta,\ \delta_i$ & Effektivitet, tillitselastisitet, avgang & Kvasieksperimenter & \citet{chalfin2017} \\
$\mathcal U_i^{C},\ B_i,\ F_i$ & Forventet nytte, gevinst, sanksjon & Estimert & \citet{becker1968} \\
$p_i,\ h_i$ & Oppdagelsesrisiko og -intensitet & Kvasieksperimenter; ikke oppklaringsprosent alene & \citet{nagin2013} \\
$\Pi_i,\ M_i,\ s_i$ & Deltakelse, potensial, heterogenitet & Estimert & \citet{becker1968} \\
$\sigma_{ij}$ & Forskyvning (andel av fortrengt aktivitet) & Kontrollområdestudier & \citet{guerette2009} \\
$\kappa_U,\psi,\kappa_\Lambda,\mu_k$ & Trygghets- og tillitsdynamikk & Gjentatte undersøkelser & \citet{sunshine2003} \\
$q,\ \Tprop$ & Prosessuell kvalitet; forholdsmessighet & Undersøkelser, tilsyn & \citet{tyler1990} \\
$c,\ a,\ b,\ \tau_c$ & Tillitsjustert effektivitet; dempning, reaktivitet, kritisk forsinkelse & Avledet, \cref{eq:ab,eq:tauc} & \citet{hayes1950} \\
$\cJ,\ \rho,\ C_{(\cdot)}$ & Samfunnstap, diskonteringsrate, kostnadsfunksjoner & Valgt, \cref{eq:J} & \citet{polinsky2000} \\
$\langle\cX,\cD,\cC\rangle$ & Skrankeproblem & Budsjett $\Bud$, $w_i$, $T_i^{\max}$, $\Lambda_{\mathrm{krit}}$, $K^*$, $U^*$ & \citet{rossi2006} \\
$H,\ g,\ V_f,\ \vx$ & MPC-horisont, trinnkostnad, sluttkostnad, tilstand & Valgt & \citet{rawlings2017} \\
$T_i^{\mathrm{lov}},\ T_i^{\mathrm{grl}},\ \tau_{\mathrm{lov}}$ & Lovbestemt og konstitusjonell grense; lovgivningsforsinkelse & Lov og forskrift; Grunnloven, EMK & \citet{ranchordas2014} \\
$J_k,\ Z_k,\ Q_k$ & Innstrømning, kapasitet og kø i ledd $k$ av straffesakskjeden & Saksbehandlingsstatistikk, restanser & \citet{goldratt1984} \\
$\upsilon_k,\ \upsilon_k^{\max},\ \tau_k^{\text{kø}},\ \xi_{\mathrm{D}}$ & Utnyttelse, tillatt utnyttelse, køtid; andel saker til retten & Avledet fra~\eqref{eq:ko}; påtalestatistikk & \citet{kleinrock1975} \\
$R_{\mathrm{D}},\ m_{\mathrm{D}},\ \varsigma_{\mathrm{D}}$ & Avgjorte saker; ren behandlingstid; frafall fra køen & Domstolstatistikk, \cref{eq:koD} & \citet{little1961} \\
$\vartheta,\ \chi_{\mathrm{D}},\ \mu_4$,\newline $\tau_{\mathrm{h}},\ \tau_{\mathrm{D}}^{\mathrm{ref}}$ & Andel av virkning som krever dom; celerity; tillitsvirkning; halvmetnings- og referansetid & Stiliserte, \cref{eq:ddeD,eq:kjedefb} & \citet{nagin2013} \\
$F,\ K_{\mathrm{sat}},\ Z_{\mathrm{E}},\ s$ & Fjerning med metning; politiets halvmetningsnivå og kapasitet; metningsfaktor & Henleggelser av kapasitetsgrunner; \cref{eq:Fsat,eq:absat} & \citet{holling1959} \\
$\pi_{\mathrm{A}},\ \vartheta_{\mathrm{A}},\ \vartheta_{\mathrm{B}}$,\newline $Q_k,\ R_k,\ \tau_k^{\text{kø}},\ c_{\mathrm{D}}$ & Alvorlige sakers andel; domsavhengig virkning per sakstype; kø, avgjørelser og ventetid per type; antall spor & Domstolstatistikk per sakstype, \cref{eq:prio} & \citet{kleinrock1975,kingman1961} \\
$\epsilon,\ K_{\mathrm{h}},\ \varrho,\ \mathcal H$ & Rekruttering: styrke, halvmetning, terskelbratthet, metningsfunksjon & Ikke estimert, \cref{eq:soc} & \citet{scheffer2009} \\
$\bm v,\ \Psi,\ \mathcal O$ & Tiltaksvektor, beslutningsregel, mengden av observasjoner & Avledet, \cref{eq:tiltak,eq:obs,eq:policy} & \citet{astrom2021} \\
$\tau_{\mathrm{D}}^{\mathrm{obs}},\ \xi_{\min},\ \tau_{\mathrm{D}}^{\mathrm{gr}}$,\newline $k_\xi,\ \tau_\xi$; $\Lambda^{*},\ k_q,\ q_{\max}$ & Påtalemyndighetens regel: observasjonsforsinkelse, gulv for andel til domstol, terskel for saksbehandlingstid, forsterkning, tidskonstant; kvalitetssløyfen: tillitsmål, forsterkning, øvre grense & Påtale- og domstolstatistikk, innbyggerundersøkelse; \cref{eq:regelxi}, \cref{sec:endogen} & \citet{goldratt1990} \\
$\upsilon^{*},\ k_Z,\ \tau_Z,\ \tau_{\mathrm{ned}}$,\newline $Z^{\mathrm{bev}},\ H_Q,\ H_{\mathrm{p}}$,\newline $\hat F^{\mathrm{p}}$ & Budsjettregel: målutnyttelse, forsterkning, ledetid, nedbyggingstid, bevilget kapasitet; horisont for restanseavvikling, prognosehorisont, prognostisert fjerningsstrøm & Budsjett, restansestatistikk, \cref{eq:regelZ,eq:regelkoord} & \citet{sterman1989,sterman2000} \\
\end{xltabular}
}

% =================================================================
% =================================================================
\section{Bevis for proposisjon~\ref{prop:stabilitet}}\label{app:bevis}
% =================================================================

\paragraph{Linearisering}
Med $T(t)=T_0+k_p(\Kobj(t-\tau)-K^*)$ innenfor metningsgrensene og konstante
$\bar\Lambda$, $\bar\Omega$ gir~\eqref{eq:dde}
$\dot K(t)=\bar\Omega-cT(t)K(t)-\delta K(t)$ med $c=\gamma\bar\Lambda^{\eta}$.
Setter vi $K(t)=\bar K+x(t)$ og $T(t)=\bar T+k_p x(t-\tau)$, bruker
likevektsbetingelsen $\bar\Omega=(c\bar T+\delta)\bar K$ og ser bort fra
annenordensleddet $c\,k_p\,x(t)x(t-\tau)$, får vi
$\dot x(t)=-(c\bar T+\delta)\,x(t)-c\bar K k_p\,x(t-\tau)=-a\,x(t)-b\,x(t-\tau)$,
med $a>0$ og $b>0$.

\paragraph{Karakteristisk ligning}
Innsetting av $x=e^{\lambda t}$ gir
$\chi(\lambda)\coloneqq\lambda+a+b\,e^{-\lambda\tau}=0$. For $\tau=0$ er eneste rot
$\lambda=-(a+b)<0$. Røttene avhenger kontinuerlig av $\tau$, og bare endelig
mange ligger i ethvert halvplan $\operatorname{Re}\lambda>-\epsilon$, så
stabilitet kan bare tapes ved at en rot krysser den imaginære aksen
\citep{hale1993}. $\lambda=0$ er ikke en rot, siden $a+b>0$. Sett derfor
$\lambda=i\varpi$ med $\varpi>0$ (komplekskonjugerte røtter opptrer parvis).
Real- og imaginærdelen gir
\[
  a+b\cos(\varpi\tau)=0,\qquad \varpi-b\sin(\varpi\tau)=0 .
\]
Kvadrering og addisjon gir $\varpi^2=b^2-a^2$.

\paragraph{Del (a)}
Hvis $b\le a$, finnes ingen $\varpi>0$ som oppfyller dette. Ingen rot kan da
krysse den imaginære aksen, og likevekten er asymptotisk stabil for alle
$\tau\ge 0$.

\paragraph{Del (b)}
Hvis $b>a$, er $\varpi=\sqrt{b^2-a^2}$, $\cos(\varpi\tau)=-a/b$ og
$\sin(\varpi\tau)=\varpi/b>0$. Kryssinger skjer dermed ved
$\tau_m=\big(\arccos(-a/b)+2\pi m\big)/\varpi$, $m=0,1,2,\dots$, og den minste er
$\tau_c=\tau_0=\arccos(-a/b)/\varpi$. For kryssingsretningen deriverer vi
$\chi(\lambda(\tau))=0$ implisitt og bruker $b e^{-\lambda\tau}=-(\lambda+a)$,
som gir $(\dd\lambda/\dd\tau)^{-1}=-1/\big(\lambda(\lambda+a)\big)-\tau/\lambda$.
For $\lambda=i\varpi$ er siste ledd rent imaginært, mens
$\operatorname{Re}\big[-1/(i\varpi(i\varpi+a))\big]=\varpi^2/(\varpi^4+a^2\varpi^2)>0$.
Siden et komplekst tall og dets inverse har realdel med samme fortegn, er
$\operatorname{Re}(\dd\lambda/\dd\tau)>0$ ved hver kryssing $\tau_m$: røttene
krysser alltid fra venstre mot høyre halvplan, og stabiliteten gjenvinnes ikke
for større $\tau$. Likevekten er altså asymptotisk stabil hvis og bare hvis
$\tau<\tau_c$, og ved $\tau=\tau_c$ har den kritiske roten frekvens $\varpi$ og
periode $2\pi/\varpi$.

\paragraph{Korollar~\ref{kor:tommel}}
For $0<a<b$ er $\arccos(-a/b)\in(\pi/2,\pi)$ og $\sqrt{b^2-a^2}<b$, så
$\tau_c>\pi/(2b)$. Betingelsen $\tau<\pi/(2b)=\pi/(2c\bar K k_p)$ er derfor
tilstrekkelig for stabilitet i del~(b), og i del~(a) er sløyfen stabil uansett.
\hfill$\square$

\paragraph{Merknad~\ref{mrk:metning}: linearisering med metning}
La $F(K,T)=c'T\varphi(K)$ med $\varphi(K)=K/(1+K/K_{\mathrm{sat}})$ og
$c'=\gamma'\bar\Lambda^{\eta}$. Da er
$\varphi'(K)=\varphi(K)\,s(K)/K$ med $s(K)=1/(1+K/K_{\mathrm{sat}})$.
Linearisering av $\dot K=\bar\Omega-c'T\varphi(K)-\delta K$ rundt
$(\bar K,\bar T)$ med $T=\bar T+k_p x(t-\tau)$ gir
$\dot x=-\big(c'\bar T\varphi'(\bar K)+\delta\big)x(t)-c'\varphi(\bar K)k_p\,x(t-\tau)$.
Med $\bar r\coloneqq c'\bar T\varphi(\bar K)/\bar K$ er
$c'\bar T\varphi'(\bar K)=\bar r\,s(\bar K)$ og
$c'\varphi(\bar K)k_p=\bar r\bar K k_p$, som er~\eqref{eq:absat}. Kalibreringen
$\gamma'=\gamma(1+\Kref/K_{\mathrm{sat}})$ gir $\varphi(\Kref)\gamma'=\gamma\Kref$,
så $\bar r=c\bar T$ i referanselikevekten uavhengig av $K_{\mathrm{sat}}$.
For retningen på $\tau_c$: ved fast $b$ er
$\partial\tau_c/\partial a
=\big[\,1+a\arccos(-a/b)/\sqrt{b^2-a^2}\,\big]/(b^2-a^2)>0$
(siden $\dd\arccos(-a/b)/\dd a=1/\sqrt{b^2-a^2}$),
så en lavere dempning gir en kortere kritisk forsinkelse. Grensen for
stabilitet uansett forsinkelse, $b\le a$, blir $k_p\le(\bar r s(\bar K)+\delta)/(\bar r\bar K)$.
\hfill$\square$

\paragraph{Merknad~\ref{mrk:kapasitet}: kapasitetssløyfen}
La innstrømningen $J$ være gitt, og la budsjettet hvert år av lengde
$\Delta$ korrigere andelen $k_Z$ av gapet mellom nødvendig kapasitet
$J/\upsilon^{*}$ og realisert kapasitet, med realisering $\tau_Z$ etter
vedtaket. Erstattes de årlige vedtakene med en kontinuerlig rate, er
$\dot Z(t)=(k_Z/\Delta)\big(J/\upsilon^{*}-Z(t-\tau_Z)\big)$, så
$z=Z-J/\upsilon^{*}$ følger $\dot z(t)=-b\,z(t-\tau_Z)$ med
$b=k_Z/\Delta$: \cref{prop:stabilitet} med $a=0$, der
$\tau_c=\arccos(0)/b=\pi/(2b)$, så sløyfen er stabil hvis og bare hvis
$k_Z\tau_Z/\Delta<\pi/2$. Regnes bevilget, men ikke realisert kapasitet
med, korrigeres gapet mot den bevilgede kapasiteten $C(t)$, som er realisert
når det nye vedtaket virker; da er
$\dot C(t)=(k_Z/\Delta)\big(J/\upsilon^{*}-C(t)\big)$ uten forsinkelse, $C$
går monotont mot behovet for alle $k_Z>0$, og $Z$ følger med ledetiden
$\tau_Z$. Nedbygging med tidskonstant $\tau_{\mathrm{ned}}$ gir
$a=1/\tau_{\mathrm{ned}}>0$ og øker $\tau_c$.
\hfill$\square$

\paragraph{Bistabilitet i~\eqref{eq:soc}}
Ved fast $T$ og $\Lambda$ er likevektene røttene i
$f(K)=\Omega+\epsilon\mathcal H(K)-aK$ med $a=c\bar T+\delta$. Siden
$f(0)=\Omega>0$ og $f(K)\to-\infty$, finnes minst én rot, og antallet er
odde. $\mathcal H$ er for $\varrho>1$ konveks på $[0,K^{\dagger}]$ og konkav
deretter, med $K^{\dagger}=K_{\mathrm{h}}\big((\varrho-1)/(\varrho+1)\big)^{1/\varrho}$
og største stigning $\mathcal H'(K^{\dagger})$. Er
$\epsilon\mathcal H'(K)\le a$ for alle $K$, er $f$ strengt avtagende og roten
entydig; tre røtter krever derfor $\epsilon\mathcal H'(K^{\dagger})>a$. De to
ytre røttene er stabile ($f'<0$), den midterste (separatrisen) ustabil;
røttene oppstår eller forsvinner parvis der $f=f'=0$ (tangering), som er
sadelnode-bifurkasjonen i teksten. Rundt den lave likevekten er den lokale
dempningen $-f'(\bar K)=a-\epsilon\mathcal H'(\bar K)$, som erstatter $a$ i
\cref{prop:stabilitet} og går mot null nær tangeringen.
Med proporsjonalregelen erstattes $aK$ av
$\big(c\,\sat_{[0,T^{\max}]}[T_0+k_p(K-K^*)]+\delta\big)K$, som vokser
raskere enn lineært inntil taket nås og lineært deretter; en høy likevekt
finnes da bare når $T^{\max}$ er lite, eller, med metning~\eqref{eq:Fsat},
når $Z_{\mathrm{E}}(T^{\max})$ ikke overstiger $\Omega+\epsilon$ med
tilstrekkelig margin.
\hfill$\square$

% =================================================================
\section{Fra ligning til kode}\label{app:kode}
% =================================================================

Dette vedlegget viser hvilke ligninger som ligger bak simuleringene i
\cref{sec:numerikk}, og hvilke som bare er stilt opp. For hver nummererte
ligning oppgir \cref{tab:kode} funksjonen i simuleringskoden
\texttt{paper/sim.py} som regner den, med linjenummer (l.), hvilken figur
eller tabell den bidrar til, og status:
\begin{itemize}[leftmargin=*,itemsep=1pt]
  \item \emph{implementert}: koden regner ligningen slik den står, i den
    aggregerte formen ($n=1$, nivåene normalisert slik at $\Kobj=1$ i
    referanselikevekten);
  \item \emph{forenklet}: koden regner et spesialtilfelle eller en enklere
    form, og merknaden sier hva som er utelatt;
  \item \emph{ikke implementert}: ligningen hører til rammeverket, men ingen
    simulering bruker den.
\end{itemize}
Av de 39 nummererte ligningene er 18 implementert, 11 forenklet og 10 ikke
implementert. Det som ikke er implementert, er kategoriene og den
strategiske tilpasningen (\cref{sec:spill}), måleligningen, de
makroøkonomiske driverne, målfunksjonen og lovgivers handlingsrom.
Simuleringene regner altså på den aggregerte kjernen av modellen ---
kriminalitetsdynamikken med forsinket respons, trygghet og tillit,
domstolskøen og beslutningsreglene --- og ikke på hele rammeverket.
\Cref{sec:diskusjon} drøfter hva det betyr. \Cref{tab:kodefunn} viser
hvor hver figur og tabell kommer fra.

Alle simuleringene integreres med eksplisitt Euler-metode med tidssteg
$\Delta t=0{,}05$~måned over 120~måneder (180 i \cref{sec:endogen}), og
forsinkelsen $\tau$ er et helt antall tidssteg. Etter hvert steg holdes
tilliten innenfor $[10^{-4},\,1-10^{-4}]$ og køene ikke-negative; tillitsgrensen
binder ikke i noen kjøring (laveste tillit er $0{,}47$). En kjøring tar om lag
to minutter, skriver figurdataene i \texttt{paper/data/}, som figurene leser
direkte, og skriver ut tallene som tabellene og teksten oppgir. Med
Python~3.14.0, numpy~2.5.4 og scipy~1.18.1 gir en ny kjøring byte-identiske
datafiler. Linjenumrene gjelder \texttt{sim.py} i samme versjon som denne
teksten.

\newcommand{\stImp}{\textbf{Implementert.}}
\newcommand{\stFor}{\textbf{Forenklet.}}
\newcommand{\stIkke}{\textbf{Ikke implementert.}}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{0.96}
\begin{xltabular}{\linewidth}{@{}P{1.25cm} P{3.4cm} P{2.3cm} L@{}}
\caption{Ligningene i artikkelen, koden som regner dem, og hva de gir.}
\label{tab:kode}\\
\toprule
Ligning & Kode (\texttt{sim.py}) & Gir & Status og merknad \\
\midrule
\endfirsthead
\toprule
Ligning & Kode (\texttt{sim.py}) & Gir & Status og merknad \\
\midrule
\endhead
\midrule
\multicolumn{4}{r@{}}{\itshape fortsetter på neste side}\\
\endfoot
\bottomrule
\endlastfoot
\eqref{eq:naiv} & \texttt{simulate}, l.~66--86; regelen l.~73--75 & \cref{fig:sim} &
  \stFor{} $f$ er proporsjonalregelen i~\eqref{eq:pid}, og $\mathcal O$ er
  $\Kobj$ forsinket med $\tau$. \\
\eqref{eq:Kobj} & --- & --- &
  \stIkke{} Koden har én aggregert, normalisert belastning ($n=1$); antall,
  alvorlighet og skadekostnad per kategori inngår ikke. \\
\eqref{eq:Ktilde} & --- & --- &
  \stIkke{} Styringsreglene svarer på $\Kobj$, ikke på $\Kt$. \\
\eqref{eq:maling} & --- & --- &
  \stIkke{} Alle simuleringer antar et feilfritt estimat; forsinkelsen er
  eneste måleimperfeksjon. \\
\eqref{eq:E} & --- & --- & \stIkke{} \\
\eqref{eq:Omega} & \texttt{Omega}, l.~45--46; \texttt{simulate\_soc}, l.~466 &
  alle simuleringer &
  \stFor{} Pådraget er eksogent: $\Omega_0=0{,}12$, varig økt med 30~prosent
  fra måned~12 (forbigående økt med 60~prosent i månedene 12--36 i
  \cref{fig:vippe}). Koeffisientene $\beta_k$ og etterslepene $\ell_k$ inngår
  ikke. \\
\eqref{eq:tiltak} & \texttt{simulate\_endo}, l.~564--653 &
  \cref{fig:endogen,tab:endogen} &
  \stFor{} Tiltaksvektoren er $(T,\xi_{\mathrm{D}},Z_{\mathrm{D}},q)$, med én
  kategori og bare domstolsleddet; $T_i^{\mathrm{lov}}$ inngår ikke. \\
\eqref{eq:obs} & \texttt{simulate\_endo}, l.~582--588 og 609--611 &
  \cref{fig:endogen,tab:endogen} &
  \stFor{} Observasjonene er $\Kobj$ forsinket med $\tau$; saksbehandlingstid,
  innstrømning, kø og fjerningsstrøm i domstolen forsinket med 3~måneder; og
  tilliten fra en årlig måling publisert etter 3~måneder. Registrerte lovbrudd,
  trygghetsmålinger og makroindikatorer inngår ikke. \\
\eqref{eq:policy} & \texttt{simulate\_endo}, l.~590--641 &
  \cref{fig:endogen,tab:endogen} &
  \stFor{} $\Psi$ er de desentraliserte reglene og den koordinerte regelen i
  \cref{sec:endogen}. Tilstandsestimatet $\hat\vx$ er den sanne tilstanden
  forsinket, uten estimering. \\
\eqref{eq:tau} & \texttt{simulate}, l.~70, og tilsvarende i de andre
  simuleringsfunksjonene & \cref{fig:sim,fig:stab} &
  \stFor{} $\tau$ er én parameter (3, 6 eller 11~måneder). Oppdelingen i
  informasjons-, beslutnings- og iverksettingstid brukes bare i teksten
  (\cref{sec:regimer,sec:regneeks}). \\
\eqref{eq:pid} & \texttt{simulate}, l.~75; \texttt{simulate\_chain}, l.~218;
  \texttt{simulate\_chain2}, l.~397; \texttt{simulate\_soc}, l.~463;
  \texttt{predict\_F}, l.~557; \texttt{simulate\_endo}, l.~583 &
  \cref{fig:sim,fig:kjedesim,fig:robust,fig:vippe,fig:endogen} &
  \stFor{} Bare det reaktive leddet og metningen er implementert
  ($k_i=k_d=0$, $T^{\max}=3$). Det integrerende leddet, som ville fjernet det
  varige avviket i regime~A, er ikke simulert. \\
\eqref{eq:dde} & \texttt{deriv}, l.~57--58, med \texttt{removal}, l.~49--54;
  Euler-steget l.~82 & \cref{fig:sim} &
  \stImp{} Med $K_{\mathrm{sat}}=\infty$ gir \texttt{removal} eksakt
  $\gamma\Lambda^{\eta}T\Kobj$. \\
\eqref{eq:Fsat} & \texttt{removal}, l.~49--54 &
  \cref{fig:robust} (venstre), \cref{tab:satrobust} &
  \stImp{} Med $\gamma'=\gamma(1+\Kref/K_{\mathrm{sat}})$ og $\Kref=1$.
  $Z_{\mathrm{E}}$ regnes ikke ut særskilt. \\
\eqref{eq:ab} & l.~686--688 (referanselikevekten); l.~827--831 (sluttilstanden
  i scenario~2) & \cref{tab:param,fig:stab} &
  \stImp{} Gir $a=0{,}12$ og $b=0{,}30$. \\
\eqref{eq:tauc} & \texttt{critical\_delay}, l.~128--132; største stabile
  $k_p$, l.~694--695 & \cref{fig:stab,tab:param}; \cref{sec:regimer,sec:regneeks} &
  \stImp{} Gir $\tau_c=\infty$ når $b\le a$, $\tau_c=7{,}2$~måneder i
  referanselikevekten og $k_p\approx 2{,}3$ ved $\tau=11$. Grensen på om lag
  7,1~måneder i likevekten etter sjokket (\cref{sec:regimer}) skrives ikke ut;
  den følger av~\eqref{eq:tauc} med sluttverdiene for regime~A. \\
\eqref{eq:tommel} & l.~696; l.~724--726 & \cref{fig:stab}; \cref{sec:regneeks} &
  \stImp{} Med $\bar K=1$; gir $k_p<1{,}4$ ved $\tau=11$. \\
\eqref{eq:absat} & l.~839--848 (referanselikevekten); l.~874--876
  (sluttlikevekten) & \cref{tab:satrobust} & \stImp{} \\
\eqref{eq:nytte} & --- & --- & \stIkke{} \\
\eqref{eq:p} & --- & --- &
  \stIkke{} Den aggregerte fjerningsraten $\gamma\Lambda^{\eta}T$ svarer til
  intensiteten $h$ (fjerning per enhet i \texttt{simulate\_chain2}, l.~399),
  men oppdagelsesrisikoen regnes ikke. \\
\eqref{eq:deltakelse} & --- & --- &
  \stIkke{} Deltakelsen er ikke modellert; pådraget er eksogent. \\
\eqref{eq:forskyvning} & --- & --- &
  \stIkke{} Med $n=1$ og $\Sigma=0$ reduseres ligningen til~\eqref{eq:dde},
  som er det som simuleres. \\
\eqref{eq:U} & \texttt{deriv}, l.~59--60, og tilsvarende i de andre
  simuleringsfunksjonene & alle simuleringer &
  \stImp{} Med $\Kref=1$ og projeksjon til $[0,1]$. \\
\eqref{eq:lambda} & \texttt{deriv}, l.~61--62; leddet $\mu_3q$ i
  \texttt{deriv\_chain\_xz}, l.~543--544 &
  \cref{fig:sim,fig:kjedesim,fig:endogen} og tabellene i \cref{sec:numerikk} &
  \stImp{} Med $\Tprop(K)=1{,}6\,K$. Leddet $\mu_3(q-q_0)$ inngår bare i
  kvalitetssløyfen ($q_0=0$, $\mu_3=0{,}5$); ellers er $\mu_3=0$. \\
\eqref{eq:J} & --- & --- &
  \stIkke{} MPC-regimet minimerer i stedet et udiskontert kvadratisk tap over
  24~måneder (l.~119--120):
  $(\Kobj-K^*)^2+\lambda_T(T-T_0)^2+\lambda_\Lambda\max(0,\,0{,}75-\Lambda)^2$,
  uten ledd for trygghet, budsjett eller kvalitet. \\
\eqref{eq:skranker} & metningen i proporsjonalregelen; MPC, l.~120 og 123 &
  \cref{fig:sim} &
  \stFor{} Bare $0\le T\le T^{\max}$ (hard) og $\Lambda\ge 0{,}75$ (myk, som
  straffeledd i MPC) er med. Budsjettskranken, $K^*$ og $U^*$ inngår ikke som
  skranker; $K^*$ er målet i proporsjonalregelen. \\
\eqref{eq:mpc} & \texttt{mpc\_step}, l.~89--125; \texttt{mpc\_step\_chain},
  l.~240--265 & \cref{fig:sim} (regime~D); MPC-radene i \cref{sec:simkjede} &
  \stFor{} Ett konstant innsatsnivå over horisonten $H=24$ i stedet for en
  tiltaksfølge, ingen sluttkostnad $V_f$, og pådraget holdes på siste
  observerte verdi. Tilstanden prediseres fra den forsinkede observasjonen
  med kjente tidligere tiltak, og beslutningen tas på nytt hver måned. \\
\eqref{eq:Tlov} & --- & --- &
  \stIkke{} Lovgivers sløyfe er ikke simulert; taket $T^{\max}$ er fast. \\
\eqref{eq:ko} & \texttt{court}, l.~167--178; utnyttelsen skrives ut
  l.~732--738 og 783--786 & \cref{sec:regneeks2} &
  \stFor{} Bare domstolsleddet, i den glattede formen~\eqref{eq:koD}.
  Etterforskning, påtale og straffegjennomføring er ikke simulert.
  Regneeksempelet i \cref{sec:regneeks2} bruker~\eqref{eq:ko} direkte på
  tallene koden skriver ut. \\
\eqref{eq:JD} & \texttt{deriv\_chain}, l.~182--184;
  \texttt{deriv\_chain\_xz}, l.~535--536; \texttt{simulate\_chain2}, l.~407--408 &
  \cref{fig:kjedesim,fig:endogen} &
  \stImp{} Som $J_{\mathrm{D}}=\xi_{\mathrm{D}}F$; med politimetning er $F$
  fjerningsleddet i~\eqref{eq:Fsat}. \\
\eqref{eq:koD} & \texttt{court}, l.~167--178; stasjonær startkø i
  \texttt{init\_chain}, l.~195--203; $m_{\mathrm{D}}$ kalibrert l.~154--155 &
  \cref{fig:kjedesim,tab:param} &
  \stImp{} Gir $m_{\mathrm{D}}=0{,}233$~måneder og
  $\tau_{\mathrm{D}}^{\mathrm{ref}}=3$~måneder. \\
\eqref{eq:ddeD} & \texttt{deriv\_chain}, l.~187 &
  \cref{fig:kjedesim,tab:kjedefolsom} &
  \stImp{} Med $Z_{\mathrm{D}}=\infty$ gjenskaper koden regime~A--D med avvik
  under $10^{-13}$ (l.~740--754). \\
\eqref{eq:kjedefb} & \texttt{court}, l.~176--177 ($g$); \texttt{deriv\_chain},
  l.~186 ($\Omega^{\mathrm{eff}}$) og l.~191 ($\Lambda_0-\mu_4g$) &
  \cref{fig:kjedesim,tab:kjedefolsom} & \stImp{} \\
\eqref{eq:abD} & l.~826--834 & \cref{sec:simkjede} &
  \stImp{} I sluttilstanden for scenario~2 ($\xi_{\mathrm{D}}=1$,
  $\vartheta=0{,}5$). \\
\eqref{eq:skranker2} & trommel--buffer--tau: \texttt{simulate\_chain},
  l.~226--230; \texttt{simulate\_chain2}, l.~400--406 &
  \cref{sec:simkjede}; \cref{tab:prio} &
  \stFor{} Bare kapasitetsskranken for domstolen,
  $J_{\mathrm{D}}\le 0{,}95\,Z_{\mathrm{D}}$, håndhevet ved å begrense $T$;
  lovgrensen inngår ikke. \\
\eqref{eq:prio} & \texttt{court2}, l.~329--344, med \texttt{capfun},
  l.~320--326; \texttt{simulate\_chain2}, l.~369--428 &
  \cref{fig:robust} (høyre), \cref{tab:prio} &
  \stImp{} Koden har i tillegg felles kø (FIFO) og $c_{\mathrm{D}}=10$
  parallelle spor etter Erlang~C (l.~295--317); $c_{\mathrm{D}}=1$ gir
  ligningen eksakt. \\
\eqref{eq:soc} & \texttt{hill}, l.~442--443; \texttt{simulate\_soc},
  l.~451--476; \texttt{soc\_equilibria}, l.~479--491 &
  \cref{fig:vippe}; likevektene i \cref{sec:vippe} &
  \stImp{} $\Omega_0$ rekalibreres slik at $\Kobj=1$ fortsatt er likevekt
  (l.~455). \\
\eqref{eq:regelxi} & \texttt{simulate\_endo}, l.~598--604 og 640 &
  \cref{fig:endogen,tab:endogen} &
  \stImp{} Koden begrenser det første leddet til $3k_\xi$ per måned (l.~600),
  det vil si når $\hat\tau_{\mathrm{D}}^{\text{kø}}>24$~måneder. Grensen
  binder ikke: den lengste saksbehandlingstiden med desentraliserte regler er
  14,8~måneder. \\
\eqref{eq:regelZ} & \texttt{simulate\_endo}, l.~614--621 og 628--639 &
  \cref{fig:endogen,tab:endogen} &
  \stImp{} $\bar J_{\mathrm{D}}$ er gjennomsnittet av observert innstrømning
  de siste 12~månedene, og bestilt kapasitet realiseres lineært 6--24~måneder
  etter vedtaket (l.~630 og 636). Koden bygger bare ned når ingen bestilt
  kapasitet er under realisering (l.~632). \\
\eqref{eq:regelkoord} & \texttt{simulate\_endo}, l.~605--608 (påtale) og
  622--634 (budsjett); \texttt{predict\_F}, l.~548--561 &
  \cref{fig:endogen,tab:endogen} &
  \stImp{} Domstolen regnes som bindende fra første gang observert
  fjerningsstrøm overstiger kapasiteten ($\hat F>Z_{\mathrm{D}}$, som er
  $\hat\upsilon_{\mathrm{D}}>1$ så lenge $\xi_{\mathrm{D}}=1$), og forblir det
  (l.~606). Budsjettet bestiller bare når behovet overstiger bevilget
  kapasitet, slik \cref{tab:param} angir; ligningen viser bare
  $(\cdot)_+$. \\
Sløyfen for $q$ (\cref{sec:endogen}) & \texttt{simulate\_endo}, l.~609--612
  og 641 & \cref{tab:endogen} &
  \stImp{} Koden justerer $q$ også ned når siste måling ligger over
  $\Lambda^{*}$, og $q$ følger målet med tidskonstant 12~måneder; teksten
  nevner bare økningen. \\
\end{xltabular}
}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{0.96}
\begin{xltabular}{\linewidth}{@{}P{2.4cm} P{4.2cm} L@{}}
\caption{Figurer, tabeller og resultater: koden som lager dem.}
\label{tab:kodefunn}\\
\toprule
Resultat & Kode (\texttt{sim.py}) & Data eller utskrift \\
\midrule
\endfirsthead
\toprule
Resultat & Kode (\texttt{sim.py}) & Data eller utskrift \\
\midrule
\endhead
\midrule
\multicolumn{3}{r@{}}{\itshape fortsetter på neste side}\\
\endfoot
\bottomrule
\endlastfoot
\Cref{prop:stabilitet}, \cref{kor:tommel} & \texttt{critical\_delay},
  l.~128--132; l.~686--696 &
  Analytisk (\cref{app:bevis}). Koden bruker formlene, men prøver ikke
  beviset; simuleringene stemmer med det: regime~A og~B ligger under grensen
  og demper ut, regime~C ligger over og ender i en grensesyklus. \\
\Cref{fig:sim} & \texttt{simulate}; l.~698--714 &
  \texttt{p3}, \texttt{p6}, \texttt{p11}, \texttt{mpc11}, \texttt{p11d}
  (\texttt{.dat}). Tallene i \cref{sec:regimer} fra utskriften; perioden i
  regime~C fra toppene som skrives ut i l.~817--825. \\
\Cref{fig:stab} & \texttt{critical\_delay}; l.~716--726 &
  \texttt{stab.dat}, \texttt{thumb.dat} \\
\Cref{tab:param}, \cref{sec:regneeks} & l.~149--155 og 686--696 &
  Utskrift: $a$, $b$, $\tau_c$, periode, grensene for $k_p$, $Z_{\mathrm{D}}$,
  $m_{\mathrm{D}}$ \\
\Cref{sec:regneeks2} & l.~783--786 &
  Utskrift: $J_{\mathrm{D}}=0{,}134$, $\upsilon_{\mathrm{D}}=1{,}28$ og
  $1{,}02$, kapasitetsbehov $+34$ og $+7$~prosent \\
\Cref{fig:kjedesim} & \texttt{simulate\_chain}; l.~756--786 &
  \texttt{kjede\_s1}--\texttt{kjede\_s5} (\texttt{.dat}) \\
Trommel--buffer--tau og MPC med kjede (\cref{sec:simkjede}) & l.~788--794 &
  Utskrift \\
\Cref{tab:kjedefolsom} & l.~796--804 & Utskrift \\
Stabilitet med kø (\cref{sec:simkjede}) & l.~816--834 & Utskrift \\
\Cref{tab:satrobust} & l.~839--848, 863--883 og 896--904 & Utskrift \\
\Cref{fig:robust} & \texttt{simulate}, \texttt{simulate\_chain2};
  l.~884--888 og 948--952 &
  \texttt{sat\_C.dat}; \texttt{prio\_s2.dat}, \texttt{prio\_s3.dat}.
  \texttt{sat\_B.dat} og \texttt{prio\_s5.dat} skrives, men brukes ikke i
  figuren. \\
\Cref{tab:prio} & \texttt{simulate\_chain2}; l.~906--963 & Utskrift \\
\Cref{fig:vippe}, likevektene i \cref{sec:vippe} & \texttt{simulate\_soc},
  \texttt{soc\_equilibria}; l.~973--1006 & \texttt{vippe.dat}; utskrift \\
\Cref{fig:endogen} & \texttt{simulate\_endo}; l.~1022--1045 &
  \texttt{endo\_e5}, \texttt{endo\_des}, \texttt{endo\_desp},
  \texttt{endo\_ko} (\texttt{.dat}) \\
\Cref{tab:endogen} & \texttt{summary\_endo}, l.~656--664; l.~1022--1068 &
  Utskrift \\
\Cref{sec:eksempel}, \cref{tab:eksempel} & \texttt{simulate\_endo};
  l.~1022--1068; scenario~6, l.~790 &
  Utskrift (samme kjøringer som \cref{tab:endogen}) \\
\Cref{mrk:kapasitet} & \texttt{pure\_capacity\_loop}, l.~667--679;
  l.~1069--1077 & Utskrift \\
\end{xltabular}
}