Kjell Tore Guttormsen
85bc99b257
Concept note "Den dynamiske rettsstaten" version 2: PDFs, LaTeX source, simulation (sim.py) and figure data. Working documents are kept out of the repository. Co-Authored-By: Claude Opus 5.5 <noreply@anthropic.com>
175 lines
12 KiB
TeX
175 lines
12 KiB
TeX
% =================================================================
|
|
\appendix
|
|
% =================================================================
|
|
\section{Symboloversikt}\label{app:symboler}
|
|
% =================================================================
|
|
|
|
{\footnotesize
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{0.94}
|
|
\begin{xltabular}{\linewidth}{@{}P{2.5cm} L L P{2.5cm}@{}}
|
|
\caption{Modellens variabler, parametere og teoretiske forankring.}
|
|
\label{tab:symboler}\\
|
|
\toprule
|
|
Symbol & Begrep & Måleindikator / datakilde & Forankring \\
|
|
\midrule
|
|
\endfirsthead
|
|
\toprule
|
|
Symbol & Begrep & Måleindikator / datakilde & Forankring \\
|
|
\midrule
|
|
\endhead
|
|
\midrule
|
|
\multicolumn{4}{r@{}}{\itshape fortsetter på neste side}\\
|
|
\endfoot
|
|
\bottomrule
|
|
\endlastfoot
|
|
$N_i$ & Aktivitetsnivå i kategori $i$ & Estimert fra register og offerundersøkelser & --- \\
|
|
$A_i,\ S_i,\ \theta$ & Alvorlighet, skadekostnad, aversjon & Strafferammer, kostnadsanslag & \citet{becker1968} \\
|
|
$\Kobj,\ \Kref$ & Vektet objektiv kriminalitet; referansenivå & Avledet fra~\eqref{eq:Kobj} & \citet{becker1968} \\
|
|
$U,\ \Lambda$ & Opplevd trygghet, tillit & Innbygger- og trygghetsundersøkelser & \citet{tyler1990} \\
|
|
$\Kt,\ \omega,\ \Phi$ & Effektivt kriminalitetspress & Avledet fra~\eqref{eq:Ktilde} & --- \\
|
|
$r_i,\ \varepsilon_i$ & Registreringsgrad, målefeil & Offerundersøkelser & \citet{ensign2018} \\
|
|
$\vE,\ \Omega_i,\ \beta_k,\ \ell_k$ & Makrovektor, strukturelt pådrag, koeffisienter, etterslep & SSB, NAV, Norges Bank & \citet{freeman1999} \\
|
|
$\tau$ & Systemisk tidsforsinkelse & Tidsstempler, budsjettkalender & \citet{forrester1961} \\
|
|
$T_i,\ T_0,\ T^{\max}$; $K^*,\ e$ & Innsats, grunninnsats, kapasitetstak; målnivå, styringsavvik & Ressursregnskap; politisk vedtak & --- \\
|
|
$k_p,\ k_i,\ k_d,\ W$ & Styringsparametere (PID) & Estimert fra historisk praksis & \citet{astrom2021} \\
|
|
$\gamma_i,\ \eta,\ \delta_i$ & Effektivitet, tillitselastisitet, avgang & Kvasieksperimenter & \citet{chalfin2017} \\
|
|
$\mathcal U_i^{C},\ B_i,\ F_i$ & Forventet nytte, gevinst, sanksjon & Estimert & \citet{becker1968} \\
|
|
$p_i,\ h_i$ & Oppdagelsesrisiko og -intensitet & Kvasieksperimenter; ikke oppklaringsprosent alene & \citet{nagin2013} \\
|
|
$\Pi_i,\ M_i,\ s_i$ & Deltakelse, potensial, heterogenitet & Estimert & \citet{becker1968} \\
|
|
$\sigma_{ij}$ & Forskyvning (andel av fortrengt aktivitet) & Kontrollområdestudier & \citet{guerette2009} \\
|
|
$\kappa_U,\psi,\kappa_\Lambda,\mu_k$ & Trygghets- og tillitsdynamikk & Gjentatte undersøkelser & \citet{sunshine2003} \\
|
|
$q,\ \Tprop$ & Prosessuell kvalitet; forholdsmessighet & Undersøkelser, tilsyn & \citet{tyler1990} \\
|
|
$c,\ a,\ b,\ \tau_c$ & Tillitsjustert effektivitet; dempning, reaktivitet, kritisk forsinkelse & Avledet, \cref{eq:ab,eq:tauc} & \citet{hayes1950} \\
|
|
$\cJ,\ \rho,\ C_{(\cdot)}$ & Samfunnstap, diskonteringsrate, kostnadsfunksjoner & Valgt, \cref{eq:J} & \citet{polinsky2000} \\
|
|
$\langle\cX,\cD,\cC\rangle$ & Skrankeproblem & Budsjett $\Bud$, $w_i$, $T_i^{\max}$, $\Lambda_{\mathrm{krit}}$, $K^*$, $U^*$ & \citet{rossi2006} \\
|
|
$H,\ g,\ V_f,\ \vx$ & MPC-horisont, trinnkostnad, sluttkostnad, tilstand & Valgt & \citet{rawlings2017} \\
|
|
$T_i^{\mathrm{lov}},\ T_i^{\mathrm{grl}},\ \tau_{\mathrm{lov}}$ & Lovbestemt og konstitusjonell grense; lovgivningsforsinkelse & Lov og forskrift; Grunnloven, EMK & \citet{ranchordas2014} \\
|
|
$J_k,\ Z_k,\ Q_k$ & Innstrømning, kapasitet og kø i ledd $k$ av straffesakskjeden & Saksbehandlingsstatistikk, restanser & \citet{goldratt1984} \\
|
|
$\upsilon_k,\ \upsilon_k^{\max},\ \tau_k^{\text{kø}},\ \xi_{\mathrm{D}}$ & Utnyttelse, tillatt utnyttelse, køtid; andel saker til retten & Avledet fra~\eqref{eq:ko}; påtalestatistikk & \citet{kleinrock1975} \\
|
|
$R_{\mathrm{D}},\ m_{\mathrm{D}},\ \varsigma_{\mathrm{D}}$ & Avgjorte saker; ren behandlingstid; frafall fra køen & Domstolstatistikk, \cref{eq:koD} & \citet{little1961} \\
|
|
$\vartheta,\ \chi_{\mathrm{D}},\ \mu_4$,\newline $\tau_{\mathrm{h}},\ \tau_{\mathrm{D}}^{\mathrm{ref}}$ & Andel av virkning som krever dom; celerity; tillitsvirkning; halvmetnings- og referansetid & Stiliserte, \cref{eq:ddeD,eq:kjedefb} & \citet{nagin2013} \\
|
|
$F,\ K_{\mathrm{sat}},\ Z_{\mathrm{E}},\ s$ & Fjerning med metning; politiets halvmetningsnivå og kapasitet; metningsfaktor & Henleggelser av kapasitetsgrunner; \cref{eq:Fsat,eq:absat} & \citet{holling1959} \\
|
|
$\pi_{\mathrm{A}},\ \vartheta_{\mathrm{A}},\ \vartheta_{\mathrm{B}}$,\newline $Q_k,\ R_k,\ \tau_k^{\text{kø}},\ c_{\mathrm{D}}$ & Alvorlige sakers andel; domsavhengig virkning per sakstype; kø, avgjørelser og ventetid per type; antall spor & Domstolstatistikk per sakstype, \cref{eq:prio} & \citet{kleinrock1975,kingman1961} \\
|
|
$\epsilon,\ K_{\mathrm{h}},\ \varrho,\ \mathcal H$ & Rekruttering: styrke, halvmetning, terskelbratthet, metningsfunksjon & Ikke estimert, \cref{eq:soc} & \citet{scheffer2009} \\
|
|
$\bm v,\ \Psi,\ \mathcal O$ & Tiltaksvektor, beslutningsregel, mengden av observasjoner & Avledet, \cref{eq:tiltak,eq:obs,eq:policy} & \citet{astrom2021} \\
|
|
$\tau_{\mathrm{D}}^{\mathrm{obs}},\ \xi_{\min},\ \tau_{\mathrm{D}}^{\mathrm{gr}}$,\newline $k_\xi,\ \tau_\xi$; $\Lambda^{*},\ k_q,\ q_{\max}$ & Påtalemyndighetens regel: observasjonsforsinkelse, gulv for andel til domstol, terskel for saksbehandlingstid, forsterkning, tidskonstant; kvalitetssløyfen: tillitsmål, forsterkning, øvre grense & Påtale- og domstolstatistikk, innbyggerundersøkelse; \cref{eq:regelxi}, \cref{sec:endogen} & \citet{goldratt1990} \\
|
|
$\upsilon^{*},\ k_Z,\ \tau_Z,\ \tau_{\mathrm{ned}}$,\newline $Z^{\mathrm{bev}},\ H_Q,\ H_{\mathrm{p}}$,\newline $\hat F^{\mathrm{p}}$ & Budsjettregel: målutnyttelse, forsterkning, ledetid, nedbyggingstid, bevilget kapasitet; horisont for restanseavvikling, prognosehorisont, prognostisert fjerningsstrøm & Budsjett, restansestatistikk, \cref{eq:regelZ,eq:regelkoord} & \citet{sterman1989,sterman2000} \\
|
|
\end{xltabular}
|
|
}
|
|
|
|
% =================================================================
|
|
% =================================================================
|
|
\section{Bevis for proposisjon~\ref{prop:stabilitet}}\label{app:bevis}
|
|
% =================================================================
|
|
|
|
\paragraph{Linearisering}
|
|
Med $T(t)=T_0+k_p(\Kobj(t-\tau)-K^*)$ innenfor metningsgrensene og konstante
|
|
$\bar\Lambda$, $\bar\Omega$ gir~\eqref{eq:dde}
|
|
$\dot K(t)=\bar\Omega-cT(t)K(t)-\delta K(t)$ med $c=\gamma\bar\Lambda^{\eta}$.
|
|
Setter vi $K(t)=\bar K+x(t)$ og $T(t)=\bar T+k_p x(t-\tau)$, bruker
|
|
likevektsbetingelsen $\bar\Omega=(c\bar T+\delta)\bar K$ og ser bort fra
|
|
annenordensleddet $c\,k_p\,x(t)x(t-\tau)$, får vi
|
|
$\dot x(t)=-(c\bar T+\delta)\,x(t)-c\bar K k_p\,x(t-\tau)=-a\,x(t)-b\,x(t-\tau)$,
|
|
med $a>0$ og $b>0$.
|
|
|
|
\paragraph{Karakteristisk ligning}
|
|
Innsetting av $x=e^{\lambda t}$ gir
|
|
$\chi(\lambda)\coloneqq\lambda+a+b\,e^{-\lambda\tau}=0$. For $\tau=0$ er eneste rot
|
|
$\lambda=-(a+b)<0$. Røttene avhenger kontinuerlig av $\tau$, og bare endelig
|
|
mange ligger i ethvert halvplan $\operatorname{Re}\lambda>-\epsilon$, så
|
|
stabilitet kan bare tapes ved at en rot krysser den imaginære aksen
|
|
\citep{hale1993}. $\lambda=0$ er ikke en rot, siden $a+b>0$. Sett derfor
|
|
$\lambda=i\varpi$ med $\varpi>0$ (komplekskonjugerte røtter opptrer parvis).
|
|
Real- og imaginærdelen gir
|
|
\[
|
|
a+b\cos(\varpi\tau)=0,\qquad \varpi-b\sin(\varpi\tau)=0 .
|
|
\]
|
|
Kvadrering og addisjon gir $\varpi^2=b^2-a^2$.
|
|
|
|
\paragraph{Del (a)}
|
|
Hvis $b\le a$, finnes ingen $\varpi>0$ som oppfyller dette. Ingen rot kan da
|
|
krysse den imaginære aksen, og likevekten er asymptotisk stabil for alle
|
|
$\tau\ge 0$.
|
|
|
|
\paragraph{Del (b)}
|
|
Hvis $b>a$, er $\varpi=\sqrt{b^2-a^2}$, $\cos(\varpi\tau)=-a/b$ og
|
|
$\sin(\varpi\tau)=\varpi/b>0$. Kryssinger skjer dermed ved
|
|
$\tau_m=\big(\arccos(-a/b)+2\pi m\big)/\varpi$, $m=0,1,2,\dots$, og den minste er
|
|
$\tau_c=\tau_0=\arccos(-a/b)/\varpi$. For kryssingsretningen deriverer vi
|
|
$\chi(\lambda(\tau))=0$ implisitt og bruker $b e^{-\lambda\tau}=-(\lambda+a)$,
|
|
som gir $(\dd\lambda/\dd\tau)^{-1}=-1/\big(\lambda(\lambda+a)\big)-\tau/\lambda$.
|
|
For $\lambda=i\varpi$ er siste ledd rent imaginært, mens
|
|
$\operatorname{Re}\big[-1/(i\varpi(i\varpi+a))\big]=\varpi^2/(\varpi^4+a^2\varpi^2)>0$.
|
|
Siden et komplekst tall og dets inverse har realdel med samme fortegn, er
|
|
$\operatorname{Re}(\dd\lambda/\dd\tau)>0$ ved hver kryssing $\tau_m$: røttene
|
|
krysser alltid fra venstre mot høyre halvplan, og stabiliteten gjenvinnes ikke
|
|
for større $\tau$. Likevekten er altså asymptotisk stabil hvis og bare hvis
|
|
$\tau<\tau_c$, og ved $\tau=\tau_c$ har den kritiske roten frekvens $\varpi$ og
|
|
periode $2\pi/\varpi$.
|
|
|
|
\paragraph{Korollar~\ref{kor:tommel}}
|
|
For $0<a<b$ er $\arccos(-a/b)\in(\pi/2,\pi)$ og $\sqrt{b^2-a^2}<b$, så
|
|
$\tau_c>\pi/(2b)$. Betingelsen $\tau<\pi/(2b)=\pi/(2c\bar K k_p)$ er derfor
|
|
tilstrekkelig for stabilitet i del~(b), og i del~(a) er sløyfen stabil uansett.
|
|
\hfill$\square$
|
|
|
|
\paragraph{Merknad~\ref{mrk:metning}: linearisering med metning}
|
|
La $F(K,T)=c'T\varphi(K)$ med $\varphi(K)=K/(1+K/K_{\mathrm{sat}})$ og
|
|
$c'=\gamma'\bar\Lambda^{\eta}$. Da er
|
|
$\varphi'(K)=\varphi(K)\,s(K)/K$ med $s(K)=1/(1+K/K_{\mathrm{sat}})$.
|
|
Linearisering av $\dot K=\bar\Omega-c'T\varphi(K)-\delta K$ rundt
|
|
$(\bar K,\bar T)$ med $T=\bar T+k_p x(t-\tau)$ gir
|
|
$\dot x=-\big(c'\bar T\varphi'(\bar K)+\delta\big)x(t)-c'\varphi(\bar K)k_p\,x(t-\tau)$.
|
|
Med $\bar r\coloneqq c'\bar T\varphi(\bar K)/\bar K$ er
|
|
$c'\bar T\varphi'(\bar K)=\bar r\,s(\bar K)$ og
|
|
$c'\varphi(\bar K)k_p=\bar r\bar K k_p$, som er~\eqref{eq:absat}. Kalibreringen
|
|
$\gamma'=\gamma(1+\Kref/K_{\mathrm{sat}})$ gir $\varphi(\Kref)\gamma'=\gamma\Kref$,
|
|
så $\bar r=c\bar T$ i referanselikevekten uavhengig av $K_{\mathrm{sat}}$.
|
|
For retningen på $\tau_c$: ved fast $b$ er
|
|
$\partial\tau_c/\partial a
|
|
=\big[\,1+a\arccos(-a/b)/\sqrt{b^2-a^2}\,\big]/(b^2-a^2)>0$
|
|
(siden $\dd\arccos(-a/b)/\dd a=1/\sqrt{b^2-a^2}$),
|
|
så en lavere dempning gir en kortere kritisk forsinkelse. Grensen for
|
|
stabilitet uansett forsinkelse, $b\le a$, blir $k_p\le(\bar r s(\bar K)+\delta)/(\bar r\bar K)$.
|
|
\hfill$\square$
|
|
|
|
\paragraph{Merknad~\ref{mrk:kapasitet}: kapasitetssløyfen}
|
|
La innstrømningen $J$ være gitt, og la budsjettet hvert år av lengde
|
|
$\Delta$ korrigere andelen $k_Z$ av gapet mellom nødvendig kapasitet
|
|
$J/\upsilon^{*}$ og realisert kapasitet, med realisering $\tau_Z$ etter
|
|
vedtaket. Erstattes de årlige vedtakene med en kontinuerlig rate, er
|
|
$\dot Z(t)=(k_Z/\Delta)\big(J/\upsilon^{*}-Z(t-\tau_Z)\big)$, så
|
|
$z=Z-J/\upsilon^{*}$ følger $\dot z(t)=-b\,z(t-\tau_Z)$ med
|
|
$b=k_Z/\Delta$: \cref{prop:stabilitet} med $a=0$, der
|
|
$\tau_c=\arccos(0)/b=\pi/(2b)$, så sløyfen er stabil hvis og bare hvis
|
|
$k_Z\tau_Z/\Delta<\pi/2$. Regnes bevilget, men ikke realisert kapasitet
|
|
med, korrigeres gapet mot den bevilgede kapasiteten $C(t)$, som er realisert
|
|
når det nye vedtaket virker; da er
|
|
$\dot C(t)=(k_Z/\Delta)\big(J/\upsilon^{*}-C(t)\big)$ uten forsinkelse, $C$
|
|
går monotont mot behovet for alle $k_Z>0$, og $Z$ følger med ledetiden
|
|
$\tau_Z$. Nedbygging med tidskonstant $\tau_{\mathrm{ned}}$ gir
|
|
$a=1/\tau_{\mathrm{ned}}>0$ og øker $\tau_c$.
|
|
\hfill$\square$
|
|
|
|
\paragraph{Bistabilitet i~\eqref{eq:soc}}
|
|
Ved fast $T$ og $\Lambda$ er likevektene røttene i
|
|
$f(K)=\Omega+\epsilon\mathcal H(K)-aK$ med $a=c\bar T+\delta$. Siden
|
|
$f(0)=\Omega>0$ og $f(K)\to-\infty$, finnes minst én rot, og antallet er
|
|
odde. $\mathcal H$ er for $\varrho>1$ konveks på $[0,K^{\dagger}]$ og konkav
|
|
deretter, med $K^{\dagger}=K_{\mathrm{h}}\big((\varrho-1)/(\varrho+1)\big)^{1/\varrho}$
|
|
og største stigning $\mathcal H'(K^{\dagger})$. Er
|
|
$\epsilon\mathcal H'(K)\le a$ for alle $K$, er $f$ strengt avtagende og roten
|
|
entydig; tre røtter krever derfor $\epsilon\mathcal H'(K^{\dagger})>a$. De to
|
|
ytre røttene er stabile ($f'<0$), den midterste (separatrisen) ustabil;
|
|
røttene oppstår eller forsvinner parvis der $f=f'=0$ (tangering), som er
|
|
sadelnode-bifurkasjonen i teksten. Rundt den lave likevekten er den lokale
|
|
dempningen $-f'(\bar K)=a-\epsilon\mathcal H'(\bar K)$, som erstatter $a$ i
|
|
\cref{prop:stabilitet} og går mot null nær tangeringen.
|
|
Med proporsjonalregelen erstattes $aK$ av
|
|
$\big(c\,\sat_{[0,T^{\max}]}[T_0+k_p(K-K^*)]+\delta\big)K$, som vokser
|
|
raskere enn lineært inntil taket nås og lineært deretter; en høy likevekt
|
|
finnes da bare når $T^{\max}$ er lite, eller, med metning~\eqref{eq:Fsat},
|
|
når $Z_{\mathrm{E}}(T^{\max})$ ikke overstiger $\Omega+\epsilon$ med
|
|
tilstrekkelig margin.
|
|
\hfill$\square$
|
|
|